Cantor-Menge überabzählbar

16.11.2017, 20:29

cantormeng

Cantor-Menge überabzählbar

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe und möchte wissen, ob mein Beweis gültig ist.

Aufgabe:

Betrachten Sie die Cantor-Menge C und zeigen Sie, dass C überabzählbar ist. Hinweis: Die Obermengen $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ bestehen aus jeweils $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ abgeschlossenen Teilintervallen der Länge $\begin{eqnarray*} 3^{-n} \end{eqnarray*}$ . Nehmen Sie an, es
gäbe eine surjektive Abbildung c : N -> C, und führen Sie diese Annahme unter Betrachtung besagter Teilintervalle und des Intervallschachtelungsprinzips zum Widerspruch.

Meine Idee:

Sei $\begin{eqnarray*} A_0 = [0,1], A_1=[0,\frac{1}{3}], A_2=[\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$ (Per Definition der Cantor-Menge). Sei $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Folge und $\begin{eqnarray*} c_0 \in A_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1 \notin A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \notin A_2 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} c_n \notin A_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Die Cantor Menge ist $\begin{eqnarray*} C:= \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ und per des Interschaltungsprinzips enthält $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n \end{eqnarray*}$ ein Element. Aber die Abbildung c ist surjektiv aber das letzte Element in die Cantor-Menge ist nicht von c abbgebildet. Also die Surjektivität ist nicht erfüllt und die Cantor-Menge ist nicht abzählbar.

16.11.2017, 22:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von cantormeng
Nehmen Sie an, es gäbe eine surjektive Abbildung c : N -> C, und führen Sie diese Annahme unter Betrachtung besagter Teilintervalle und des Intervallschachtelungsprinzips zum Widerspruch.

[...]

Sei $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Folge und $\begin{eqnarray*} c_0 \in A_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1 \notin A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \notin A_2 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} c_n \notin A_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Was soll das? Oben noch hast du angenommen, dass Folge $\begin{align*} c(n) \end{align*}$ in $\begin{align*} C \end{align*}$ liegt, das bedeutet aber $\begin{align*} c_k\in A_n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n,k \end{align*}$ . Haben jetzt also dein $\begin{align*} c_n \end{align*}$ nichts mit $\begin{align*} c(n) \end{align*}$ zu tun? Und was ist "das letzte Element in die Cantor-Menge" ? Ich sehe in dem, was du gepostet hast, kein Fünkchen Logik. verwirrt

16.11.2017, 22:55

cantormeng

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Ich habe das gleiche gedacht. Die Folge war eine schlechte Idee. Statt der Folge mache ich das gleiche mit der Funktion. Also statt $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n\in N} \end{eqnarray*}$ benutzte ich $\begin{eqnarray*} c(n) \end{eqnarray*}$ für n in N. Dann sage ich:

c(1) ist in $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$
c(2) ist in $\begin{eqnarray*} A_1\bigcap A_2 \end{eqnarray*}$ aber nicht in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$
c(3) ist in $\begin{eqnarray*} A_3\bigcap A_4 \bigcap A_5 \bigcap A_6 \end{eqnarray*}$ aber nicht in $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$

und das wird bis n folgen. Und wenn wir c(n) anschauen, sehen wir, dass $\begin{eqnarray*} \bigcap_{k=1}^{n}I_k \end{eqnarray*}$ per dem Intervallschaltungsprinzip wird am Ende noch ein Element im Durchschnitt der n Intervalle aber das Element wird keine Abbildung von der Funktion c haben. Daraus folgt, dass c nicht surjektiv ist und die Cantor-Menge C ist nicht abzählbar.

Das ist logisch(er), oder?

17.11.2017, 07:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von cantormeng
c(2) ist in $\begin{eqnarray*} A_1\bigcap A_2 \end{eqnarray*}$ aber nicht in $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$

Anders als oben, anders absurd: Wegen $\begin{align*} A_1\cap A_2 \subseteq A_2 \end{align*}$ ist jedes (!) Element aus $\begin{align*} A_1\cap A_2 \end{align*}$ auch in $\begin{align*} A_2 \end{align*}$ enthalten. Das von dir beschriebene Szenario existiert daher gar nicht. unglücklich

17.11.2017, 08:57

cantormeng

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Ach...man das ist wirklich doof. Ich hänge fest. Hast du einen Tipp?

17.11.2017, 09:27

HAL 9000

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Ich hatte jetzt angenommen, du bist derselbe Fragesteller wie hier. Was anderes als dort habe ich momentan auch nicht anzubieten.

17.11.2017, 09:44

cantormeng

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Kannst du bitte erklären was diese Notation bedeutet: $\begin{align*} \{0,2\}^{\mathbb{N}} \end{align*}$ .

17.11.2017, 09:55

HAL 9000

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Das ist die Menge aller Abbildungen $\begin{align*} \mathbb{N}\to \{0,2\} \end{align*}$ , mit anderen Worten: Alle Zahlenfolgen mit Werten 0 oder 2.

Hier entspricht jede solche Zahlenfolge der Zifferndarstellung in Trinärdarstellung einer Zahl aus $\begin{align*} C \end{align*}$ .

17.11.2017, 10:19

cantormeng Und

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Und dann können wir sagen, dass da die Mächtigkeit von C 2^n ist, dann ist auch für {0,2}^N. Aber die Mächtigkeit von N ist kleiner als 2^n und somit ist das ein Widerspruch?

17.11.2017, 11:41

HAL 9000

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Ja klar, etwa über Cantors zweites Diagonalargument.

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