Cantor-Menge überabzählbar |
16.11.2017, 20:29 | cantormeng | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cantor-Menge überabzählbar ich habe eine Aufgabe und möchte wissen, ob mein Beweis gültig ist. Aufgabe: Betrachten Sie die Cantor-Menge C und zeigen Sie, dass C überabzählbar ist. Hinweis: Die Obermengen bestehen aus jeweils abgeschlossenen Teilintervallen der Länge . Nehmen Sie an, es gäbe eine surjektive Abbildung c : N -> C, und führen Sie diese Annahme unter Betrachtung besagter Teilintervalle und des Intervallschachtelungsprinzips zum Widerspruch. Meine Idee: Sei (Per Definition der Cantor-Menge). Sei eine Folge und und und . Also für alle . Die Cantor Menge ist und per des Interschaltungsprinzips enthält ein Element. Aber die Abbildung c ist surjektiv aber das letzte Element in die Cantor-Menge ist nicht von c abbgebildet. Also die Surjektivität ist nicht erfüllt und die Cantor-Menge ist nicht abzählbar. |
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16.11.2017, 22:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll das? Oben noch hast du angenommen, dass Folge in liegt, das bedeutet aber für alle . Haben jetzt also dein nichts mit zu tun? Und was ist "das letzte Element in die Cantor-Menge" ? Ich sehe in dem, was du gepostet hast, kein Fünkchen Logik. |
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16.11.2017, 22:55 | cantormeng | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe das gleiche gedacht. Die Folge war eine schlechte Idee. Statt der Folge mache ich das gleiche mit der Funktion. Also statt benutzte ich für n in N. Dann sage ich: c(1) ist in c(2) ist in aber nicht in c(3) ist in aber nicht in und das wird bis n folgen. Und wenn wir c(n) anschauen, sehen wir, dass per dem Intervallschaltungsprinzip wird am Ende noch ein Element im Durchschnitt der n Intervalle aber das Element wird keine Abbildung von der Funktion c haben. Daraus folgt, dass c nicht surjektiv ist und die Cantor-Menge C ist nicht abzählbar. Das ist logisch(er), oder? |
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17.11.2017, 07:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anders als oben, anders absurd: Wegen ist jedes (!) Element aus auch in enthalten. Das von dir beschriebene Szenario existiert daher gar nicht. |
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17.11.2017, 08:57 | cantormeng | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach...man das ist wirklich doof. Ich hänge fest. Hast du einen Tipp? |
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17.11.2017, 09:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte jetzt angenommen, du bist derselbe Fragesteller wie hier. Was anderes als dort habe ich momentan auch nicht anzubieten. |
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17.11.2017, 09:44 | cantormeng | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du bitte erklären was diese Notation bedeutet: . |
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17.11.2017, 09:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die Menge aller Abbildungen , mit anderen Worten: Alle Zahlenfolgen mit Werten 0 oder 2. Hier entspricht jede solche Zahlenfolge der Zifferndarstellung in Trinärdarstellung einer Zahl aus . |
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17.11.2017, 10:19 | cantormeng Und | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und dann können wir sagen, dass da die Mächtigkeit von C 2^n ist, dann ist auch für {0,2}^N. Aber die Mächtigkeit von N ist kleiner als 2^n und somit ist das ein Widerspruch? |
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17.11.2017, 11:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja klar, etwa über Cantors zweites Diagonalargument. |
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