Partielle Ableitung höheren Grades vereinfachen

17.11.2017, 14:38

Jefferson1992

Partielle Ableitung höheren Grades vereinfachen

Guten Tag

Ich soll folgenden Ausdruck vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = \cos{z}+3x^2y+4x^3z^4-5x^8y^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2\delta_1+3\delta_2)^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_1 = \delta_x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_2 = \delta_y \end{eqnarray*}$

nach Vorlesung.

Ich bin mir unschlüssig, ob ich da folgende Formel verwenden kann:

$\begin{eqnarray*} (x_1+...+x_n)^k = \sum_{k=a_1+...+a_n}{\frac{k!}{a_1!...a_n!}x_1^{a_1}...x_n^{a_n}} \end{eqnarray*}$

"Multinomialformel mit Multiindexnotation"

Oder bin ich auf dem ganz falschen Weg?

17.11.2017, 14:54

IfindU

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RE: Partielle Ableitung höheren Grades vereinfachen
Kannst du -- wenn du weisst, dass die partiellen Ableitungen kommutieren.
Bei $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ Summanden nennt man die "Multinomialformal" auch BI-nomische Formel Augenzwinkern

17.11.2017, 15:19

Jefferson1992

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Was ich mich jetzt frage ist folgendes:

dieses $\begin{eqnarray*} k= a_1+...+a_n \end{eqnarray*}$

Diese a's kann ich die frei wählen oder findet man die irgendwo?

So wie es in der Vorlesung aufgeschrieben wurde, ist $\begin{eqnarray*} k = 4 \end{eqnarray*}$ oder?

Dann muss ich doch $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_2 \end{eqnarray*}$ berechnen, damit ich weiß, was letztlich in der Klammer steht, richtig?

Hab das gemacht, da kommt dann:

$\begin{eqnarray*} (2\cdot(6xy+12x^2z^4-40x^7y^5)+3\cdot(3x^2-25x^8y^4))^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (12xy+24x^2z^4-80x^7y^5+9x^2-75x^8y^4)^4 \end{eqnarray*}$

Das hieße doch, ich habe 5 $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ Ausdrücke, also $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^5<br /> \end{eqnarray*}$

So jetzt stoppe ich erstmal .. ist da etwas richtiges dabei?

17.11.2017, 15:32

IfindU

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Du missverstehst die Summe. Die Summe geht über alle Multiindizes $\begin{eqnarray*} \alpha = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb N^n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} k = a_1 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$ .

D.h. für $\begin{eqnarray*} k = 3, \; n =2 \end{eqnarray*}$ wären das die Paare $\begin{eqnarray*} (3,0), \; (2,1), \; (1,2), \; (0,3) \end{eqnarray*}$ . Man bekommt 4 Summanden. Im Falle $\begin{eqnarray*} k = n = 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = (2,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha_2= (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_3= (0,2) \end{eqnarray*}$ . Setzt man das wirklich alles fleissig ein bekommt man $\begin{eqnarray*} (x_1 +x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 \end{eqnarray*}$ .

Und ich dachte du wolltest den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} (\partial_x + \partial_y)^4 \end{eqnarray*}$ mit der Formel vereinfachen. Wenigstens bin ich davon ausgegangen du musst $\begin{eqnarray*} (\partial_x + \partial_y)^4 f \end{eqnarray*}$ bestimmen, auch wenn du das nirgendwo geschrieben hast.

17.11.2017, 15:58

HAL 9000

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Solltest du vorhaben, tatsächlich $\begin{align*} (12xy+24x^2z^4-80x^7y^5+9x^2-75x^8y^4)^4 \end{align*}$ von Hand und per Multinomialsatz auszumultiplizieren:

Die Anzahl der vonm IfindU genannten Multiindizes, und damit die Anzahl der Summanden bei Exponent k=4 und n=5 Gliedern im Multinom ist hier $\begin{align*} \binom{k+n-1}{n-1} = \binom{8}{4} = 70 \end{align*}$ .

17.11.2017, 16:19

Dmpartyrock

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Zitat:

Original von IfindU
Du missverstehst die Summe. Die Summe geht über alle Multiindizes $\begin{eqnarray*} \alpha = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb N^n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} k = a_1 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$ .

D.h. für $\begin{eqnarray*} k = 3, \; n =2 \end{eqnarray*}$ wären das die Paare $\begin{eqnarray*} (3,0), \; (2,1), \; (1,2), \; (0,3) \end{eqnarray*}$ . Man bekommt 4 Summanden. Im Falle $\begin{eqnarray*} k = n = 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = (2,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha_2= (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_3 (0,2) \end{eqnarray*}$ . Setzt man das wirklich alles fleissig ein bekommt man $\begin{eqnarray*} (x_1 +x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 \end{eqnarray*}$ .

Und ich dachte du wolltest den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} (\partial_x + \partial_y)^4 \end{eqnarray*}$ mit der Formel vereinfachen. Wenigstens bin ich davon ausgegangen du musst $\begin{eqnarray*} (\partial_x + \partial_y)^4 f \end{eqnarray*}$ bestimmen, auch wenn du das nirgendwo geschrieben hast.

Du sollst nur diesen Term vereinfachen $\begin{eqnarray*} (\partial_x + \partial_y)^4 \end{eqnarray*}$ und danach benutzt du den Satz von schwarz um alles zusammenzufassen.

17.11.2017, 17:26

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Anzahl der vonm IfindU genannten Multiindizes, und damit die Anzahl der Summanden bei Exponent k=4 und n=5 Gliedern im Multinom ist hier $\begin{align*} \binom{k+n-1}{n-1} = \binom{8}{4} = 70 \end{align*}$ .

Und Gauss dachte die Zahlen von 1 bis 100 einzeln aufzusummieren sei schon eine Zeitverschwendung Big Laugh

17.11.2017, 19:43

Jefferson1992

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habs kapiert. Danke smile

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