Limes, Grenzwerte bestimmen

17.11.2017, 14:59

Kathreena

Limes, Grenzwerte bestimmen

Bestimmen sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren.

1.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{4 \cdot n^{n+3}-1}{3+5^n} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{4}-1}{\sqrt[n]{2} -1 } \end{eqnarray*}$

_______________________________________________
Meine Idee:

1.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{4 \cdot n^{n+3}-1}{3+5^n} \end{eqnarray*}$

Ich seh hier nich, wie ich das umformen könnte, damit nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ rauskommt. Jemand hat mir dann gesagt, das in solchen Fällen ich mit L'Hospital rechnen soll (nie gemacht).

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to y} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to y} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Aber da an der Uni differentialrechnung noch garnich durchgemacht wurde, glaube ich das ich hier irgendwas übersehe.

2.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{4}-1}{\sqrt[n]{2} -1 } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2}+1 \end{eqnarray*}$

Sagt mein Taschenrechner, verstehe aber nich ganz wie.

17.11.2017, 15:15

Dmpartyrock

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Ich würde versuchen das 5^n auszuklammern und dann zu kürzen

17.11.2017, 15:23

HAL 9000

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Zu 1) Grundsätzlich hilft bei der Betrachtung solcher Brüche: Ausklammern des "dominanten" Terms (d.h. des am schnellsten wachsenden) in Zähler wie Nenner, hier bedeutet das

$\begin{align*} \frac{4 \cdot n^{n+3}-1}{3+5^n} = \frac{n^{n+3}}{5^n} \cdot \frac{4-\frac{1}{n^{n+3}}}{1+\frac{3}{5^n}} \end{align*}$ .

Term $\begin{align*} \frac{4-\frac{1}{n^{n+3}}}{1+\frac{3}{5^n}} \end{align*}$ macht keinen Ärger, der konvergiert sicher gegen 4 für $\begin{align*} n\to \infty \end{align*}$ . Aber was ist mit $\begin{align*} \frac{n^{n+3}}{5^n} \end{align*}$ , fällt dir da nichts ein, was man umformen könnte (Stichwort: Potenzgesetze) ?

Zu 2) Denk an die dritte binomische Formel: Mit $\begin{align*} x=\sqrt[n]{2} \end{align*}$ gilt $\begin{align*} x^2=\sqrt[n]{4} \end{align*}$ und damit dann $\begin{align*} \frac{\sqrt[n]{4}-1}{\sqrt[n]{2}-1} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \end{align*}$ .

17.11.2017, 15:25

Kathreena

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1.) $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+3}}{5n} = n^3 (\frac{n}{5} )^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n^3 (\frac{n}{5} )^n = \infty \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
1.) $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+3}}{5n} = n^3 (\frac{n}{5} )^n \end{eqnarray*}$

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+3}}{5^n} = n^3 (\frac{n}{5} )^n \end{eqnarray*}$

Das weitere paßt dann.

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