Unbestimmtes Integral mittels Substitution

17.11.2017, 15:34	loler69	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral mittels Substitution Meine Frage: Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x}{\sqrt{x+2} } \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als Erstes habe ich die Funktion umgeformt: (x+2)^-0.5 * x Nun wollte ich den Typ-1-Substitution anwenden, jedoch geht das nicht, da: F(g(x)) * g'(x) dx = f(z) dz und x (g'(x)) ist nicht die Ableitung von x+2 (g(x) und nun weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Bitte um Hilfe
17.11.2017, 15:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine passende Substitution wäre hier $\begin{align} u=x+2 \end{align}$ , damit kommt man rasch zum Ziel. Bei entsprechender Erfahrung kann man die auch "on the fly" machen: $\begin{align} \int \frac{x}{\sqrt{x+2}} ~ \dd x = \int \frac{x+2-2}{\sqrt{x+2}} ~ \dd x = \int \left( \sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} \right) ~ \dd x \end{align}$ und dann weiter mit der normalen Potenzfunktion-Integration (Ok, hier etwas "verschoben").
17.11.2017, 16:05	loler6990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es ja so versucht mit u = x+2, jedoch hat es nicht so wirklich geklappt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x}{\sqrt{x+2}} \, dx \\ \int_{}^{} \! (x+2)^{-0,5}x \, dx \\ x+2 = u \\ \int_{}^{} \! u^{-0.5} \, dx = \frac{1}{0,5} u^{0,5} + C \\ u = x+2 \\ --> \frac{1}{0,5} (x+2)^{0,5} + C \end{eqnarray*}$ Danke im Voraus!
17.11.2017, 16:12	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: In Netz gibt es Rechner mit Erklärung: https://www.integralrechner.de/
17.11.2017, 16:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest da $\begin{align} \int (x+2)^{-0.5}{\color{red} \cdot x} ~ \dd x \stackrel{?}{=} \int u^{-0.5} ~ {\color{blue}\dd x} \end{align}$ , das ist aus zweierlei Gründen suspekt: Erstens hat $\begin{align} {\color{blue}\dd x} \end{align}$ im transformierten Integral nichts mehr zu suchen, im vorliegenden Fall ergibt die Rechnung $\begin{align} \dd x = \dd u \end{align}$ , und somit hat $\begin{align} \dd u \end{align}$ diesen Platz einzunehmen. Zweiten: Wohin ist $\begin{align} {\color{red} \cdot x} \end{align}$ verschwunden? Es muss gemäß Substitution durch $\begin{align} \cdot (u-2) \end{align}$ ersetzt werden!
17.11.2017, 21:33	loler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Schönen Abend noch.
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18.11.2017, 13:21	loler33	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int (x+2)^{-0.5}{ \cdot x} ~ \dd x \stackrel{Subst. x = u + 2}{=} \int u^{-0.5} (u-2) ~ {\dd u}<br /> \\<br /> -->\frac{1}{0.5} * u^{0,5} * \frac{1}{2}u^{2} - 2u + C<br /> \\<br /> z = x + 2<br /> \\<br /> -->\frac{1}{0.5} (x+2)^{0,5} * \frac{1}{2}(x+2)^{2} - 2(x+2) + C \end{eqnarray}$ Kann das richtig sein? P.S.: Vorheriger Post kann gelöscht werden, da da latex fehlt. EDIT: erledigt (klarsoweit)

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