erzeugende Funktionen unabh. ZV

18.11.2017, 11:44	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
erzeugende Funktionen unabh. ZV Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ und Verteilungen $\begin{eqnarray} P(X=n)=p_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(Y=n)=q_n \end{eqnarray}$ . Ferner habe die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Z=X+Y \end{eqnarray}$ die Verteilung $\begin{eqnarray} P(Z=n)=r_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(z), Q(z), R(z) \end{eqnarray}$ seien die erzeugenden Funktionen der Folgen $\begin{eqnarray} p_n, q_n, r_n \end{eqnarray}$ a) Drücken Sie $\begin{eqnarray} R(z) \end{eqnarray}$ in Termen von $\begin{eqnarray} P(z), Q(z) \end{eqnarray}$ aus. b) Drücken Sie (unter Annahme das beide existieren) den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mathbb E(X) \end{eqnarray}$ und Varianz $\begin{eqnarray} \mathbb V(X) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ aus. c) Seien $\begin{eqnarray} X_i , i=1,...,n \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariablen, alle mit der selben Verteilung $\begin{eqnarray} P(X_i=0)=q, P(X_i=1)=p=1-q \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} Z=X_1 + ... + X_n \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb E(Z) \end{eqnarray}$ , die erzeugende Funktion der Wahrscheinlichkeiten von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb V(Z) \end{eqnarray}$ . zu a) $\begin{eqnarray} R(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty } r_n z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty } P(Z=n) z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty } P(X+Y=n) z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\sum\limits_{k=0}^{n} P(X=k)P(Y=n-k) ) z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\sum\limits_{k=0}^{n} p_k q_{n-k} ) z^n \end{eqnarray}$ zu b) $\begin{eqnarray} P(z) = \mathbb E(z^X) \Rightarrow P^`(z) = \mathbb E(Xz^{X-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb E(X) = P^`(1) = \sum\limits_{n=1}^{\infty } n p_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb V(X) = \mathbb E(X^2) - [\mathbb E(X)]^2 = \mathbb E(X(X-1)) + \mathbb E(X) - [\mathbb E(X)]^2 = P^{``}(1) + P^`(1) - [P^`(1)]^2 \end{eqnarray}$ zu c) ... hier hab ich leider noch nichts... Hoffe mir kann jemand helfen. Dankeschön
18.11.2017, 17:45	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mir hier anscheinend niemand helfen will, kam ich jetzt auf diese Idee: Da $\begin{eqnarray} P(X_i=0)=q, P(X_i=1)=1-q \end{eqnarray}$ folgt, das es eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gibt, welche von den $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig ist aber trotzdem Werte in $\begin{eqnarray} \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ , sprich dem selben Wertebereich, hat. Dann folgt: $\begin{eqnarray} Z = \sum\limits_{i=1}^{T} X_i \end{eqnarray}$ Die erzeugende Funktion ist dann: $\begin{eqnarray} m_Z(t) = m_T(m_{X_1}(t)) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} m_Z(t) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} m_T(t) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} m_{X_1}(t) \end{eqnarray}$ die jeweiligen erzeugenden Funktionen sind. Für den Erwartungswert ergibt sich dann durchs Ableiten in $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ (siehe b)) unter Verwendung der Kettenregel: $\begin{eqnarray} \mathbb E(Z) = \mathbb E(T) \mathbb E(X_1) \end{eqnarray}$ und für die Varianz (ebenfalls Ableiten wie in b)): $\begin{eqnarray} \mathbb V(Z) = \mathbb V(T)\mathbb E(X_1)^2 + \mathbb V(X_1)\mathbb E(T) \end{eqnarray}$

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