Platzkarten verteilen

18.11.2017, 13:42

forbin

Platzkarten verteilen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

An einem Tisch für acht Personen werden die Tischkarten zufällig verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle Karten richtig stehen
b) keine richtig steht

Meine Gedanken dazu:
Wir haben eine Permutation ohne Wiederholung, da die Tischkarten alle unterscheidbar sind (jede ist für genau einen Platz gedacht) und keine kommt doppelt vor.
Also ist $\begin{eqnarray*} \Omega = \{(\omega_{1},...,\omega_{8}) : \omega_{i}\in\{1,...,8\}, \omega_{i}\neq\omega_{j} \forall i \neq j\}, \frak{A} = Pot(\Omega), \mathbb P = \mathcal{L}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ mit # $\begin{eqnarray*} \Omega = 8! \end{eqnarray*}$ (Wie bekomme ich # in die LaTeX-Umgebung? verwirrt

)

a)
Sei A = "Alle Karten stehen richtig"= $\begin{eqnarray*} \{(\omega_{1},...,\omega_{8}) : \omega_{i}=i \forall i\in\{1,...,8\}, \omega_{i}\neq \omega_{j} \forall i,j\in\{1,...,8\}\} \end{eqnarray*}$
#A = 1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb P(A) = \frac{1}{8!} \end{eqnarray*}$

b)
Sei B = "Keine Karte steht richtig" = $\begin{eqnarray*} \{(\omega_{1},...,\omega_{8}) : \omega_{i}\neq i \forall i\in\{1,...,8\},\omega_{i}\neq \omega_{j} \forall i,j\in\{1,...,8\},\} \end{eqnarray*}$
#B = $\begin{eqnarray*} 7! \Rightarrow \mathbb P(B) = \frac{7!}{8!} \end{eqnarray*}$

Eure Meinungen dazu?

18.11.2017, 18:22

Huggy

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RE: Platzkarten verteilen
b) ist nicht korrekt. Zu bestimmen ist die Zahl der fixpunktfreien Permutationen von 8 Elementen. Die kann mit der Siebformel berechnet werden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfr...mutation#Anzahl

Auch hier im Forum wurde das Thema mehrfach abgehandelt. Ich bin aber zu faul zum Suchen.

18.11.2017, 19:27

forbin

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Aber warum ist es falsch zu sagen:
Die erste Karte stelle ich mich Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{7}{8} \end{eqnarray*}$ falsch, die zweite mit $\begin{eqnarray*} \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$ ...
Das kann ich nicht verstehen?

Die richtige Lösung habe ich mittels Siebformel gefunden.

19.11.2017, 13:48

Huggy

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Es kann passieren, dass die erste Karte auf den Platz kommt, auf dem bei richtiger Anordnung die zweite Karte wäre. Dann kommt die zweite Karte mit Wahrscheinlichkeit 1 auf einen falschen Platz.

19.11.2017, 14:30

forbin

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Cool, danke, ich habe gerade echt was gelernt! Freude

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