Integration - Substitution unklar

18.11.2017, 15:09	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration - Substitution unklar Hallo zusammen, ich weiß nicht wie man bei folgendem Integral auf die Substitution $\begin{eqnarray} z=\frac{x}{1-w} \end{eqnarray}$ kommt. Welche Frage muss man sich denn stellen um solch eine Substititon in der Form zu konstruieren? $\begin{eqnarray} <br /> f_{W_{(r,s)}}(w)=\int_{0}^{1-w}\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}x^{r-1}((w+x)-x-x)^{s-r-1}(1-(w+x))^{n-s}\ dx <br /> =\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{s-r-1}\int_{0}^{1-w}x^{r-1}((1-w)-x)^{n-s} \ dx \end{eqnarray}$ Substituion mit $\begin{eqnarray} x=z(1-w) \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} <br /> =\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{s-r-1}\int_{0}^{1}z^{r-1} (1-w)^{r-1}((1-w)-z(1-w))^{n-s} (1-w) \ dz<br /> =\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{s-r-1}\int_{0}^{1}z^{1-r}(1-w)^{r-1} (1-w)^{n-s}(1-z)^{n-s}(1-w) \ dz<br /> =\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{s-r-1}\int_{0}^{1}z^{r-1} (1-w)^{n-s+r}(1-z)^{n-s} \ dz<br /> =\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{s-r-1} (1-w)^{n-s+r} \int_{0}^{1} z^{r-1}(1-z)^{n-s} \ dz <br /> = \frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}w^{(s-r)-1} (1-w)^{n-(s-r)} \cdot B(r,n-s+1) <br /> \end{eqnarray}$ Alles schön und gut, scheinbar hat die Substituion ihren Zweck erfüllt. Aber wieder die Frage, wie kommt auf die Form der Substitution. An was orientiert man sich, wo hält man fest um sich diese Form zu konstruieren. Es müssen ja notwendigerweise irgendwelche Hinweise geben. Es ist ja nicht der Fall, dass man sich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Substituionen baut und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mal das Integral durchrechnet und schaut ob es geklappt hat, um dann ein $\begin{eqnarray} i \in n \end{eqnarray}$ als Substitution zu definieren.

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