Topologie

18.11.2017, 16:26

Mathsfff

Topologie

Meine Frage:
Folgende Aufgabe
[attach]45726[/attach]

Meine Ideen:
Leider hab ich keine Ahnung wie ich hier an die Aufgabe rangehen soll..Hoffentlich kann mir jemand helfen

LG

18.11.2017, 18:10

IfindU

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RE: Topologie
Folgender Fakt ist ausschlaggebend:

Zitat:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ in einem topologischen Raum konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn jede Teilfolge $\begin{eqnarray*} (f_{n_k}) \end{eqnarray*}$ eine weitere Teilfolge $\begin{eqnarray*} (f_{n_{k_l}}) \end{eqnarray*}$ besitzt, so dass diese gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wenn du nun eine Folge findest, die nicht punktweise konvergiert gegen 0 konvergiert, aber jede Teilfolge eine weitere Teilfolge besitzt, die punktweise gegen 0 konvergiert, so ist der Widerspruch erbracht.

18.11.2017, 19:20

Mathsfff

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RE: Topologie
so eine Folge gibt's ? verwirrt

hm wie wärs mit (-1/n) ?

18.11.2017, 20:40

IfindU

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RE: Topologie
Die Folge sollte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhaengen. Eine in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konstante Folge kann es nicht geben, weil die Konvergenz der reellen Zahlen von einer Topologie kommt.

Und schau mal in der Vorlesung nach. Meistens zeigt man, dass die Konvergenz im Mass impliziert, dass die Funktionenfolge eine Teilfolge hat, die punktweise fast ueberall konvergiert. Und hier gerade wichtig: Ein Gegenbeispiel, wo man wirklich eine Teilfolge nehmen muss, weil die Folge sonst nirgendwo punktweise konvergieren muss.

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