Grenzwert bestimmen Folge

18.11.2017, 17:07

Kathreena

Grenzwert bestimmen Folge

1.) $\begin{eqnarray*} a1:=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{3}{4-a_n} \end{eqnarray*}$

___________________________________________
Idee:
Ich habe schon durch herumrechnen herausgefunden, das die Folge nach 1 Konvergiert.

Aber ich schaffs nich. die "Formel" für die Folge hinzuschreiben, damit ich damit arbeiten kann.

Also für a2: es wird der Nenner von a1 mit 3 multipliziert, und dann schreib ich das in Zähler und Nenner, nur im Nenner kommt noch eine -1 dazu $\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3-1} = \frac{3}{2} = a2 \end{eqnarray*}$

Für a3: es wird der Nenner von a2 mit 3 multipliziert, und dann schreib ich das in Zähler und Nenner, nur im Nenner kommt noch eine -1 dazu $\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3-1} = \frac{6}{5} = a3 \end{eqnarray*}$

Für a4: es wird der Nenner von a3 mit 3 multipliziert, und dann schreib ich das in Zähler und Nenner, nur im Nenner kommt noch eine -1 dazu $\begin{eqnarray*} \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 3-1} = \frac{15}{14} = a4 \end{eqnarray*}$
.
.
.

Aber ja wie gesagt ,ich scheitere daran, das in eine Formel umzuschreiben.

21.11.2017, 01:18

mYthos

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Bist du das dort?

https://www.mathelounge.de/491690/rekurs...-a_-n-1-3-4-a_n

Ich möchte dich darauf aufmerksam machen, dass Crossposting, also das gleichzeitige Posten ein und derselben Frage in mehreren Boards unhöflich und unfair ist, weil dadurch mehrere Helfer unnötig gebunden werden.
Meistens hat dies eine Schließung des Threads im betreffenden Forum zur Folge.

mY+

21.11.2017, 12:39

Kathreena

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Hallo, nein das bin nicht ich.
Scheint reiner Zufall zu sein, oder derjenige ist einer meiner Kommilitonen.

Ich habe die Aufgabe nun durch Induktion für Folgen gelöst. Aber weiß nich ob das so ausreicht.

Vermutung:
$\begin{eqnarray*} 1\leq a_n \leq 2, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: n=1

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_1 \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq 2 \leq 2 \end{eqnarray*}$

Behauptung für n=1 stimmt.

Induktionsschritt: n =n+1

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n+1} \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{3}{4-a_n} \end{eqnarray*}$
Stimmt weil, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht größer als 2 werden kann, dadurch kann der Nenner nicht kleiner als 2 sein. Und alles zusammen ist dann immer größer als 1.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-a_n} \leq 2 \end{eqnarray*}$
Stimmt weil, links höchsten $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ stehen kann.

Und dann bewiesen hab ich den grenzwert durch Limes.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-a_n} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -a^2+4a-3 \end{eqnarray*}$

Durch die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen komm ich dann auf.

$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 12:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
Und dann bewiesen hab ich den grenzwert durch Limes.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-a_n} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -a^2+4a-3 \end{eqnarray*}$

Durch die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen komm ich dann auf.

$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$

Damit hast du nur bewiesen:

Wenn es einen Grenzwert gibt, dann kann es nur a=1 sein.

Du hast aber nicht bewiesen, dass es überhaupt einen Grenzwert gibt - Beispiel:

Betrachte die Folge $\begin{align*} a_1=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{n+1}=2-a_n \end{align*}$ . Nach deiner Logik würde man via $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{align*}$ dann folgern $\begin{align*} a=2-a \end{align*}$ , also Grenzwert $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ . Tatsächlich konvergiert diese Folge aber gar nicht, sondern alterniert zwischen 0 und 2.

21.11.2017, 13:54

Kathreena

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Hm verstehe, wie beweise ich es dann ?
Durch reine Abschätzung durch die Monotonie ?

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-a_n} - a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-a_n} - \frac{4a_n - (a_n)^2}{4-a_n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(a_n)^2 - 4a_n +3 }{4-a_n}\leq 0 \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 14:41

klarsoweit

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OK, jetzt kannst du noch den Zähler faktorisieren.

21.11.2017, 16:33

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} \frac{(a_n)^2 - 4a_n +3 }{4-a_n}\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(3-a_n)(1-a_n) }{4-a_n}\leq 0 \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 16:58

HAL 9000

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Ok, damit hast du nachgewiesen:

$\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ ist monoton fallend, und die Beschränkung hattest du oben schon nachgewiesen. Beides zusammen ergibt Konvergenz der Folge, und der Grenzwert kann dann nur 1 sein.

Alternativ kann man so vorgehen:

Es ist $\begin{align*} a_{n+1}=T(a_n) \end{align*}$ mit Funktion $\begin{align*} T(x) = \frac{3}{4-x} \end{align*}$ . Funktion $\begin{align*} T(x) \end{align*}$ ist auf Definitionsbereich $\begin{align*} (-\infty,4) \end{align*}$ streng monoton wachsend, wir stellen außerdem $\begin{align*} T(1)=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} T(2)=\frac{3}{2} \end{align*}$ fest. Damit folgt $\begin{align*} T([1,2]) = \left[1,\frac{3}{2}\right] \subset [1,2] \end{align*}$ , was etwa im Induktionsschritt des Beweises der Folgenbeschränktheit verwendet werden kann. Weiter haben wir ja $\begin{align*} a_1 = 2 > \frac{3}{2} = a_2 \end{align*}$ , und die strenge Monotonie von $\begin{align*} T \end{align*}$ kann genutzt werden, um aus $\begin{align*} a_n > a_{n+1} \end{align*}$ direkt auf $\begin{align*} a_{n+1} = T(a_n) > T(a_{n+1}) = a_{n+2} \end{align*}$ zu schließen, was dann bedeutet, dass $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ streng monoton fallend ist.

Der Grenzwert muss Fixpunkt von $\begin{align*} T \end{align*}$ sein, also $\begin{align*} T(a)=a \end{align*}$ , und im bewussten kompakten Intervall $\begin{align*} [1,2] \end{align*}$ liegen, das kann dann nur 1 sein - der Teil ist identisch zu deinem Vorgehen, nur eben mit dem $\begin{align*} T \end{align*}$ geschrieben.

22.11.2017, 15:59

Kathreena

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Danke, jetz hab ich den Beweis verstanden.

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