Grenzwertberechnung mithilfe von Epsilon

18.11.2017, 19:51

Gast User

Grenzwertberechnung mithilfe von Epsilon

Meine Frage:
Also, ich sitze hier jetzt schon seit einiger Zeit und weiß mittlerweile einfach nicht mehr weiter.
Ich soll den Grenzwert mithilfe von Epsilon beweisen für die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{{n}^2-3{n}}{2{n}^2+4} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Grenzwert der Folge beträgt 0,5 . Wie man diesen ausrechnen und nachweißt verstehe ich voll und ganz.
Wenn ich jedoch für Epsilon 0,001 gegeben habe und ich dass dann versuche auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} |{a}_{n}-g | <0,001 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{{n}^2-3{n}}{2{n}^2+4}-0,5|<0,001 \end{eqnarray*}$

Dann würde ich als erstes mit $\begin{eqnarray*} {2{n}^2+4} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} {n}^2-3{n}-0,5<0,001({2{n}^2+4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {n}^2-3{n}-0,5<0,002{n}^2+0,004 \end{eqnarray*}$

Jedoch komme ich von hier aus auf kein vernünftiges Ergebnis. Ich habe sogar schon versucht, 1,5 als Bruch zu erweitern um ihn auf den gleichen Nenner zu bringen, jedoch hilft mir dies auch nichts.
Ich weiß jedoch, dass das Ergebnis so im Bereich von 15,35 liegen sollte.

EDIT(Helferlein): Latexklammern gesetzt.

19.11.2017, 15:54

mYthos

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Du hast leider einen fatalen Fehler gemacht.
Die 0,5 sind ebenfalls mit dem Nenner $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 4 \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren!

Und für $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \text{ bei } \epsilon = \frac 1 {1000} \end{eqnarray*}$ muss weit mehr als 15 herauskommen (ev. das 100-fache!) ...

mY+

21.11.2017, 15:12

HAL 9000

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Zur Bestimmung eines passenden $\begin{align*} n_0=n_0(\varepsilon) \end{align*}$ beachte man auch, dass es dabei primär nicht um exakte Ungleichungslösung geht, man macht es sich mit dieser Sichtweise sonst nur unnötig schwer.

Im vorliegenden Fall mit $\begin{align*} f(n) = |a_n-g| = \frac{3n+2}{2n^2+4} \end{align*}$ kann man im Zähler $\begin{align*} 3n+2\leq 4n \end{align*}$ (gültig für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ ) und im Nenner $\begin{align*} 2n^2+4>2n^2 \end{align*}$ (immer gültig) abschätzen, das ergibt in Kombination

$\begin{align*} f(n) = \frac{3n+2}{2n^2+4} < \frac{4n}{2n^2} = \frac{2}{n} =: g(n) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ .

Die Auflösung von $\begin{align*} g(n) = \frac{2}{n} < \varepsilon \end{align*}$ ergibt dann $\begin{align*} n > \frac{2}{\varepsilon} \end{align*}$ , was etwa im oben diskutierten Fall $\begin{align*} \varepsilon = 0.001 \end{align*}$ dann zu $\begin{align*} n > 2000 \end{align*}$ führt. Der Vergleich zu mYthos' Skizze offenbart die Großzügigkeit der Abschätzung: Wir sind zwar schon bei ca. 1500 unterhalb von $\begin{align*} \varepsilon = 0.001 \end{align*}$ , aber ab $\begin{align*} n_0=2000 \end{align*}$ gilt es sicher auch - es macht nix, wenn man da "verschenkt", es gibt weder Sonderpreise für kleine $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ noch Bestrafungen für zu große - Hauptsache man findet welche mit sauberer Begründung, dass sie das geforderte leisten. Augenzwinkern

21.11.2017, 23:06

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
- es macht nix, wenn man da "verschenkt", es gibt weder Sonderpreise für kleine $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ noch Bestrafungen für zu große - Hauptsache man findet welche mit sauberer Begründung, dass sie das geforderte leisten. Augenzwinkern

Ja, das wurde treffend auch in einem anderen ähnlichen Thread schon so bemerkt. Big Laugh

Dies ist dann sehr angenehm, wenn nur die Existenz des Grenzwertes zu beweisen ist.

In meinem Schulunterricht hat jedoch die Frage (meist) so gelautet:

Bestimme jenen Index $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , ab welchem die Ungleichung für fast alle $\begin{eqnarray*} a_N \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, also jenen Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_N \end{eqnarray*}$ , ab welchem alle $\begin{eqnarray*} a_N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \geq N(\epsilon \end{eqnarray*}$ } in der gegenständlichen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung um den Grenzwert ( $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ) liegen.
In diesem Fall kommst du dann leider nicht mehr um eine exakte Berechnung dieses Index herum.

Daher ist dem Aufgabentext in dieser Hinsicht ein besonderes Augenmerk zu schenken.

mY+

21.11.2017, 23:22

HAL 9000

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"Ich soll den Grenzwert mithilfe von Epsilon beweisen" ist in der Hinsicht leider nicht sonderlich deutlich. Augenzwinkern

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