Divergenz beweisen

20.11.2017, 10:16

Sven1001

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Divergenz beweisen

Hallo,
ich will die Divergenz der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{5^n}{n^5} \end{eqnarray*}$ . Für n nach unendlich geht diese gegen unendlich. Ich will deshalb für den Beweis eine Minorante finden die auch gegen unendlich geht:
Diese wäre meiner Meinung nach: $\begin{eqnarray*} \frac{5^{n-1}}{n^5} \end{eqnarray*}$ Diese kann ich wie folgt abschätzen

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n-1}}{n^5} \leq \frac{5^{n}}{n^5} \cdot 5^{n-6} \end{eqnarray*}$ . Für n>6 ist der 1. Faktor kleiner 1. Also habe ich $\begin{eqnarray*} 5^{n-6} \end{eqnarray*}$ , der gegen unendlich geht. Stimmt das so?

20.11.2017, 13:51

Peter Stadtmann

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RE: Divergenz beweisen
Hallo,

Zitat:

$\begin{align*} \frac{5^{n}}{n^5} \cdot 5^{n-6} \end{align*}$ . Für n>6 ist der 1. Faktor kleiner 1.
Stimmt das so?

Nein, $\begin{align*} 5^7 = 78125<br /> 7^5 = 16807. \end{align*}$

Für n<5 ist der 1. Faktor kleiner 1:
$\begin{align*} 5^4=625<br /> 4^5=1024. \end{align*}$

20.11.2017, 13:56

Sven1001

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RE: Divergenz beweisen
Aha ok unglücklich

unglücklich

Wie kann dann die Divergenz beweisen?

20.11.2017, 14:12

Peter Stadtmann

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RE: Divergenz beweisen
Reicht es nicht, zu zeigen, dass $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \end{align*}$ für alle n>2 ist?

20.11.2017, 14:22

IfindU

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RE: Divergenz beweisen
@Peter
Aus strenger Monotonie folgt noch nicht Divergenz. Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac { a_{n+1} }{a_n} \geq c \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c > 1 \end{eqnarray*}$ (unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ !) zeigst, dann würde es reichen.

20.11.2017, 15:02

Peter Stadtmann

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RE: Divergenz beweisen

Zitat:

@Peter
Aus strenger Monotonie folgt noch nicht Divergenz.

@IfindU
Danke für den Hinweis. Das kann ich einsehen.

Das dahinter stehende muss ich mir erstmal durch den Kopf gehen lassen.
Ich glaube, dass diese Formulierung (mit dem c>1) das sein könnte, worauf ich mit der Betrachtung des Quotienten Nachfolger/Vorgänger eigentlich hinaus wollte.

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20.11.2017, 16:02

Peter5774

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RE: Divergenz beweisen
Also $\begin{eqnarray*} \frac{ a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{n}{(n+1)}^5 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ein c finden, dass größer gleich dem Quotienten ist. Wie mache ich das?

20.11.2017, 19:40

Peter5774

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RE: Divergenz beweisen
Wie finde ich das c unabhängig von n.

20.11.2017, 20:34

Peter5774

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RE: Divergenz beweisen
Also $\begin{eqnarray*} \frac{ a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{n}{(n+1)}^5 \end{eqnarray*}$

n=1: Die rechte Seite ist dann 5/32 und das ist der kleinste Wert. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{5}{32} \end{eqnarray*}$

Wenn ich N=100 wähle gilt für alle N>=n: $\begin{eqnarray*} \frac{ a_{n+1}}{a_n} \geq c \end{eqnarray*}$ mit c>1. Stimmt das?

20.11.2017, 20:38

sibelius84

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Das stimmt zwar, ist aber leider nicht wirklich überzeugend argumentiert. Du könntest benutzen, dass (n/(n+1))^5 gegen 1 konvergiert, dein Ausdruck also gegen 5 - also muss es ein N geben, so dass er ab diesem N zumindest immer >= 4 ist (Grenzwertdefinition mit epsilon := 1).

20.11.2017, 20:50

Peter5774

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Aha. Reicht das so dann so wie du es hast von der Form?

20.11.2017, 21:14

sibelius84

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Verstehst du es denn?

20.11.2017, 21:16

Peter5774

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ja schon. Das mit dem Epsilon=1 nicht so genau? verwirrt

verwirrt

20.11.2017, 21:22

sibelius84

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Die Definition für einen Grenzwert lautet ja:

$\begin{eqnarray*} a_n\longrightarrow a :\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall n \geq N: \lvert a_n-a \rvert < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Wenn man mit Grenzwerten anfängt, nimmt man erstmal diese Definition, um zu beweisen, dass etwas konvergiert. Dann geht man aber her und nimmt diese Definition und beweist mit ihrer Hilfe Rechenregeln. Aus diesen Rechenregeln kann man Grenzwerte von Folgen folgern, die rein mit der Definition zu schwierig wären.
Dann kann man aber manchmal - wie eben jetzt - diese Definition rückwärts anwenden: Wenn man mit Hilfe der Rechenregeln gezeigt hat, dass ein a_n gegen a konvergiert, dann weiß man daher - ohne es explizit nachgewiesen zu haben -, dass für a_n und a die rechte Seite der obigen Äquivalenz gilt. Das heißt, man darf sich ein positives epsilon aussuchen und weiß dann, dass "irgendwo Richtung Unendlichkeit" der Abstand des Grenzwertes von der Folge immer kleiner ist als epsilon, und auch nie wieder größer werden wird.
Nun: Wählt man für deine Folge (5n/(n+1))^5 die Zahl epsilon := 1, so weiß man, dass sie "irgendwo Richtung Unendlichkeit" in den Streifen zwischen 4 und 6 eintreten wird, um diesen niemals wieder zu verlassen.

20.11.2017, 21:43

Peter5774

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Danke

smile

Das verstehe ich: Könnt ich das dann auch so formal hinschreiben mit der epsilon Defintion?

20.11.2017, 23:18

sibelius84

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Ich weiß nicht, ob du müsstest, aber du könntest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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