Erklärung Epsilon-Delta-Kriterium

20.11.2017, 13:20

xxJan

Erklärung Epsilon-Delta-Kriterium

Hallo zusammen,

ich muss mit dem Epsilon-Delta-Kriterium die Stätigkeit einer Funktion beweisen.
Leider habe ich noch nicht so wirklich verstanden wie das Kriterium funktioniert, also wie ich es Anwende.

Kann mir das vielleicht einer anhand der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x}x_{0}>0 \end{eqnarray*}$ erläutern?

Vielen Dank für eure Hilfe

LG

20.11.2017, 20:16

sibelius84

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Du musst ja zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(a) \rvert < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lvert x-a \rvert < \delta \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, du musst dir den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(a) \rvert \end{eqnarray*}$

vorknöpfen und den abschätzen. Wenn du die Funktionswerte für x und a hinschreibst und dann die Brüche subtrahierst, solltest du schon ein

$\begin{eqnarray*} \lvert x-a \rvert \end{eqnarray*}$

darin wiedererkennen können. Dann musst du nur noch den Nenner irgendwie in den Griff kriegen. Hierfür würde ich davon ausgehen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}<x<2a \end{eqnarray*}$ (warum darf man das?).

(Ich habe jetzt a statt x_0 geschrieben.)

LG
sibelius84

20.11.2017, 21:01

xxJan

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Hi, vielen Dank für deine Antwort.

mhmhmmh... ich habe das zumindest schonmal gehört nur habe ich keinen Plan warum man das darf...

Muss man sowas in seinen Nachweis eigentlich belegen dass das gilt, oder darf ich das einfach behaupten.

20.11.2017, 21:11

sibelius84

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Muss man belegen! Denk dran, dass du die Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0 \rvert < \delta \end{eqnarray*}$

zur Verfügung hast und diese umformen kannst zu

$\begin{eqnarray*} -\delta < x-x_0 < \delta \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du oBdA annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \delta\leq \frac{1}{2}x_0. \end{eqnarray*}$

20.11.2017, 21:26

xxJan

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Achso okay gilt das eigentlich nur für $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}<x<2a \end{eqnarray*}$ oder auch für weiter?

Ist das Umformen also so gesehen der beweis?

20.11.2017, 21:31

sibelius84

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Wir wissen, dass

$\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0 \rvert < \delta \end{eqnarray*}$ , bzw. eben

$\begin{eqnarray*} -\delta < x-x_0 < \delta \end{eqnarray*}$ .

Wie könntest du dein delta jetzt wählen, um x in Abhängigkeit von x_0 geeignet einzugrenzen?

Tipp: Man muss delta auch in Abhängigkeit von x_0 wählen. Denn es ist ja nur x_0>0 vorausgesetzt, also wäre etwa x_0=0,0000000001 möglich, x_0 könnte sehr sehr klein sein.

20.11.2017, 21:43

xxJan

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Was ich bei dem Wählen von Delta noch nicht ganz verstehe wie sich die Wahl des Delta auswirkt bzw. inwiefern das Delta abhängig ist beim wählen des Deltas.

20.11.2017, 23:15

sibelius84

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Beispiel:

Wir beweisen die Stetigkeit von f(x)=x^2 an der Stelle x_0 > 0.

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wir müssen zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0)\rvert<\delta \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir also den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(x_0)\rvert \end{eqnarray*}$ und legen los:

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(x_0)\rvert = \lvert x^2-x_0^2 \rvert = \lvert x-x_0 \rvert \lvert x+x_0 \rvert < \delta \lvert x+x_0 \rvert \end{eqnarray*}$ .

Ok, schön! Jetzt haben wir f(x)-f(x_0) soweit umgeformt, dass |x-x_0| darin vorkam, so dass wir diesen Teil bereits durch delta abschätzen konnten.
Was aber machen wir mit dem Rest? Mit diesem |x+x_0|? Das müssen wir nun auch noch irgendwie in den Griff kriegen.
Die Stelle x_0 ist gedanklich fest gewählt. Bei einfacher (!) Stetigkeit darf man das delta in Abhängigkeit davon definieren. Ist also nicht so ein Problem.
Aber: Das x ist ein Problem. Denn das x ist eine Variable, die theoretisch frei auf der reellen Zahlengeraden wandern könnte.

Dieses tricksen wir aber aus, indem wir zum zweiten Mal die Bedingung |x-x_0| < delta benutzen:

Da wir delta nachher eh' beliebig klein wählen dürfen, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit schon davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} \delta<\frac{1}{2}x_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Also

$\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0 \rvert<\frac{1}{2}x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x_0 < x-x_0 < \frac{1}{2}x_0\qquad\qquad\mid +x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{2}x_0 < x < \frac{3}{2}x_0 \end{eqnarray*}$ .

Damit haben wir es nun geschafft, unser x "einzusperren". Theoretisch könnte es frei auf der reellen Zahlengeraden wandern, aber durch die Bedingung |x-x_0| < delta kann es soo weit weg von x_0 wiederum auch nicht sein Augenzwinkern

Nun erhält man mit der Dreiecksungleichung (an die Rechnung von oben anschließend)

$\begin{eqnarray*} \delta \lvert x+x_0 \rvert \leq \delta(\lvert x \rvert + \lvert x_0 \rvert) < \delta(\lvert\frac{3}{2}x_0\rvert+ \lvert x_0 \rvert) = \delta\frac{5}{2}\lvert x_0 \rvert \stackrel{!}<\varepsilon. \end{eqnarray*}$

Nach Umformung nach delta sieht man dann, dass es reicht, delta zu wählen als

$\begin{eqnarray*} \delta := \frac{2\varepsilon}{5x_0} \end{eqnarray*}$ .

Aber - Halt! Moment! Da war doch noch das von oben. Da hatten wir doch an das delta schon mal irgendwelche Anforderungen gestellt. Diesen Schönheitsfehler auch noch ausmerzend, setzen wir

$\begin{eqnarray*} \delta:=\min\{\frac{2\varepsilon}{5x_0},\frac{1}{2}x_0\} \end{eqnarray*}$ ,

und der Beweis ist fertig.

Besser kann ich die Frage, wie sich die Wahl des deltas auswirkt, nicht beantworten. Obwohl es eigentlich nicht schwer ist, haben viele am Anfang damit Probleme; daher ist es auch gut fürs Verständnis, wenn du dich so ausführlich damit auseinandersetzt.

21.11.2017, 00:18

xxJan

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Ohman vielen, vielen Dank das du dir so viel Zeit genommen hast mir zu helfen.
Ich denke ich habe es jetzt so weit verstanden was es mit dem Delta auf sich hat Freude

Eine Frage hätte ich noch, vielleicht liegt es auch an der Uhrzeit aber ich versteh noch nicht ganz was da mit dem $\begin{eqnarray*} \|x_{0}\| \end{eqnarray*}$ passiert.

$\begin{eqnarray*} \delta(\lvert\frac{3}{2}x_0\rvert+ \lvert x_0 \rvert) = \delta\frac{5}{2}\lvert x_0 \rvert \stackrel{!}<\varepsilon. \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 09:23

xxJan

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Wäre das richtige dann:

$\begin{eqnarray*} \delta*\frac{1}{\frac{1}{2}*x_{0}^{2}}<\epsilon \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2017, 11:46

sibelius84

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Sieht gut aus. Wie definierst du also dein delta?

21.11.2017, 11:52

xxJan

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Mit:
$\begin{eqnarray*} \delta\leq\epsilon*\frac{1}{2}*x_{0}^{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Wobei da fehlt doch das "Ausmerzen des Schönheitsfehlers" oder? Wie schreibt man das denn?

21.11.2017, 12:02

sibelius84

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Zitat:

Original von xxJan
Mit:
$\begin{eqnarray*} \delta\leq\epsilon*\frac{1}{2}*x_{0}^{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Wobei da fehlt doch das "Ausmerzen des Schönheitsfehlers" oder? Wie schreibt man das denn?

$\begin{eqnarray*} \delta:=\min\left\{\epsilon*\frac{1}{2}*x_{0}^{2},\frac{1}{2}x_0\right\} \end{eqnarray*}$

(also einmal := statt <=, und dann eben "min" mit der zweiten Obergrenze für delta für den Schönheitsfehler)

21.11.2017, 12:28

xxJan

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Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und das du dir die Zeit genommen hast mir das so ausführlich zu erläutern. Ups

Deine Erklärungen haben aufjedenfall geholfen, ich denke ich habe die Theorie soweit verstanden. Jetzt fehlt nur noch die Übung damit es beim anwenden auch klappt smile

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