Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

20.11.2017, 15:19

Snexx_Math

Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

Folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivität , Surjektivität und Bijektivität:

a)
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \rightarrow \mathbb N , n \mapsto \mathit{}\left\{\begin{matrix}n, falls & n\geq 0 \\-n , falls & n<0\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb N \setminus0 \rightarrow \mathbb Z , n \mapsto \mathit{}\left\{\begin{matrix}\frac{n}{2} , falls & 2 \mid n \\-\frac{n-1}{2} , &sonst.\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Wie zeigt man Surjektivität und wie Injektivität ?

Denke das funktioniert anhand der Definitionen aber komme anhand dieser nicht wirklich weiter.

Definition Surjektivität: $\begin{eqnarray*} \forall y \in Y : \exists x \in X : y=f(x) \end{eqnarray*}$

Definition Injektivität: $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 & \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus smile

20.11.2017, 20:10

zweiundvierzig

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Benutze die Definitionen. Z.B. Surjektivität in der a): Betrachte $\begin{align*} n \in \mathbb N \end{align*}$ . Kannst du ein Urbild zu diesem Element finden?

21.11.2017, 07:21

Snexx_Math

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Das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1} (n) \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ . Also kein eindeutiges Urbild.
Daraus folgt, dass es zu jedem y-Wert bzw. f(n) einen bzw. zwei Definitionswerte gibt.
Das spricht ja für Surjektivität und gegen Injektivität.

Doch was nun ?

LG

Snexx_Math

21.11.2017, 09:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1} (n) \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ .

Richtig, sauber aufgeschrieben übrigens $\begin{align*} f^{-1}\left( \{n\} \right) = \{n,-n\} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Snexx_Math
Also kein eindeutiges Urbild. Daraus folgt, dass es zu jedem y-Wert bzw. f(n) einen bzw. zwei Definitionswerte gibt. Das spricht ja für Surjektivität und gegen Injektivität.

Doch was nun ?

Tja, eigentlich bist du damit fertig, du musst es nur erkennen:

Surjektivität erfordert $\begin{align*} f^{-1}(\{n\})\neq \emptyset \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ aus der Zielmenge (hier $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ ), hast du gerade festgestellt.

Andererseits erfordert Injektivität, dass es kein $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} \left| f^{-1}(\{n\}) \right| > 1 \end{align*}$ gibt, und das hast du mit deinem $\begin{align*} \left| f^{-1}(\{n\}) \right| = 2 \end{align*}$ für $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ ja gerade widerlegt.

21.11.2017, 18:04

Snexx_Math

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Oh alles klar danke smile

Könnte ich denn auch die Injektivität von b) beweisen indem ich Folgendes tue ? :

Nach der Def. muss gelten: $\begin{eqnarray*} \forall y \in Y : \exists x \in X : y=f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Also nehme ich $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in\mathbb N \ \setminus0 \end{eqnarray*}$ und zeige:

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Also ergeben sich 2 Fälle bzw. 4:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} 2 \mid x_1 \cap 2 \mid x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \frac{x_1}{2} = \frac{x_2}{2} \Leftrightarrow (*2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

2.Fall $\begin{eqnarray*} 2\nmid x_1 \cap 2\nmid x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow -\frac{x_1-1}{2} = -\frac{x_2-1}{2} \Leftrightarrow (*(-2)) \cap (+1) \Leftrightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Fall 3 entfällt , denn : $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow -\frac{x_1-1}{2} = \frac{x_2}{2} \end{eqnarray*}$ würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(x_1) < 0 & und & f(x_2) > 0 \end{eqnarray*}$ , somit wäre die Vorraussetung nicht erfüllt und für Fall 4 analog nur mit getauschten Rollen für $\begin{eqnarray*} x_1 & und & x_2 \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 18:27

HAL 9000

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Ja, haut soweit hin. Freude

Eigentlich versinkt die Idee von b) unter derlei technischen Schreibkram:

$\begin{align*} f \end{align*}$ vereinigt unter einem Dach eine Bijektion zwischen den geraden natürlichen Zahlen und den natürlichen Zahlen einerseits, und eine Bijektion zwischen den ungeraden natürlichen Zahlen und den negativen ganzen Zahlen andererseits.

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