Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall

20.11.2017, 16:01

xxJan

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Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall

Hallo,

Ich habe folgende Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt(x) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$

Ich bin soweit gekommen das ich habe:

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(x_{0})\|\\&&=\|\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})\|\\&&=\|\frac{(\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})(\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})))}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\|\\&&=\|\frac{x-x_{0}}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\|\\&&=\frac{\|x-x_{0}\|}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0}}\\&&=\frac{x_{0}-x\|}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\\&&=\frac{\delta}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\\&&\leq \frac{\delta}{\sqrt(x_{0})}<\epsilon\\&&=\delta<\epsilon*\sqrt(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich das mit dem Intervall machen kann, also wie ich jetzt beweise das eben für dieses Intervall so ist.

Ich hoffe mir kann einer helfen

LG

20.11.2017, 20:20

sibelius84

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Hallo xxJan,

das mit dem Intervall musst du nicht extra beweisen; trotzdem fehlt deinem Beweis noch etwas (es soll ja um gleichmäßige Stetigkeit gehen!) und da könnte dann durchaus das Intervall eingehen.

Bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist es ja so, dass du das delta nur abhängig von epsilon, unabhängig von x_0 wählen können musst. Wie kriegst du jetzt also noch dieses x_0 da weg?

LG
sibelius84

20.11.2017, 21:19

xxJan

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Das $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ kann ich eigentlich nur weg bekommen wenn ich es irgendwie ersetzen könnte bzw. durch einen größeren Ausdruck ersetze.

ist nur die Frage durch welchen verwirrt

verwirrt

20.11.2017, 21:24

sibelius84

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Und hier könnte dein Intervall ins Spiel kommen!

20.11.2017, 21:32

xxJan

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Okay Also ich weiß das:

$\begin{eqnarray*} 0<\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})<\epsilon \end{eqnarray*}$

Zudem wissen wir das:

$\begin{eqnarray*} 0<x-x_{0}<\delta \end{eqnarray*}$

allerdings weiß ich noch nicht so ganz wie ich daraus einen brauchbaren Ausdruck machen kann.

20.11.2017, 21:35

sibelius84

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Das "0<" muss jeweils weg, statt dessen muss ein Betrag drum, dann ist es in der zweiten Zeile richtig. In der ersten Zeile ist das nicht ein "Wissen", sondern eine "Behauptung" (die erst noch gezeigt werden will!)

Außerdem weißt du doch, dass x_0 aus dem Intervall [1,2] kommt, weil das so vorgegeben war.

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20.11.2017, 21:51

xxJan

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okay also:

$\begin{eqnarray*} \|\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})\|<\delta \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1<x_{0}<2 \end{eqnarray*}$

also ist das was wir wissen.

Und was kann man daraus zaubern? irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch.... verwirrt

verwirrt

20.11.2017, 22:53

sibelius84

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RE: Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall

Zitat:

Original von xxJan
Ich bin soweit gekommen das ich habe:

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(x_{0})\|\\&&=\|\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})\|\\&&=\|\frac{(\sqrt(x)-\sqrt(x_{0})(\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})))}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\|\\&&=\|\frac{x-x_{0}}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\|\\&&=\frac{\|x-x_{0}\|}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0}}\\&&=\frac{x_{0}-x\|}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\\&&=\frac{\delta}{\sqrt(x)+\sqrt(x_{0})}\\&&\leq \frac{\delta}{\sqrt(x_{0})}<\epsilon\\&&=\delta<\epsilon*\sqrt(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Da steht noch ein x_0 drin. Das muss weg, damit du gleichmäßige Stetigkeit hast. Du hattest dein delta := epsilon·wurzel(x_0) gesetzt. Bei gleichmäßiger Stetigkeit darf das nicht sein. Da darf man das delta nicht von x_0 abhängig wählen.

(Übrigens haben genau wir beide in dem anderen thread gerade genau die umgekehrte Situation... da gilt es echt mal einen klaren Kopf zu bewahren Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Um also dein x_0 da wegzukriegen, benutze dein Intervall, von dem du weißt, dass es daraus kommt. Dann kannst du dein x_0 abschätzen ( $\begin{eqnarray*} \leq\ldots \end{eqnarray*}$ ) und dann ist es weg, statt dessen steht da eine Zahl, die für die Definition deines deltas nun auch bei gleichmäßiger Stetigkeit kein Hindernis mehr darstellt.

21.11.2017, 00:23

xxJan

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RE: Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall
Also bedeutet das, ich kann die $\begin{eqnarray*} \sqrt(x_{0}) \end{eqnarray*}$ mit dem Intervall abschätzen,
sodass dann $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{2}<\epsilon oder \frac{\delta}{1}<\epsilon \end{eqnarray*}$ da steht?

Sorry wenn ich das doch nicht richtig verstanden habe

21.11.2017, 11:56

xxJan

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RE: Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall
Wobei mit der eins wäre das ja dann:

$\begin{eqnarray*} \delta<\epsilon \end{eqnarray*}$ Das sieht irgendwie nicht so ganz richtig aus.

21.11.2017, 12:10

sibelius84

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"kleinerer Nenner, größere Zahl"

Wenn bspw. $\begin{eqnarray*} 4\leq a \leq 9 \end{eqnarray*}$ , so folgt daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9}\leq \frac{1}{a} \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\leq \frac{1}{\sqrt{a}} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Du warst nun bei deiner Abschätzung gekommen bis

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(x_0) \rvert \leq \ldots \leq \frac{\delta}{\sqrt{x_0}} =\delta \frac{1}{\sqrt{x_0}} \end{eqnarray*}$ .

Wie groß kann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x_0}} \end{eqnarray*}$ maximal werden?

21.11.2017, 12:22

xxJan

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Da 1 die niedrigste Zahl ist die $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ annehmen kann wäre es ja $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder nicht?

21.11.2017, 12:24

sibelius84

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Jap!

Freude

21.11.2017, 12:34

xxJan

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RE: Gleichmäßig stetige Funktion auf einem Intervall
Das bedeutet ich habe am Ende:
$\begin{eqnarray*} &&\leq \frac{\delta}{\sqrt(x_{0})}\\&&\leq\frac{\delta}{1}<\epsilon\\&&=\delta<\epsilon*1 \end{eqnarray*}$

21.11.2017, 13:51

sibelius84

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Sieht gut aus. So einfach kann es am Ende aussehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2017, 14:04

xxJan

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Auch hier nochmal vielen Dank für deine hilfe Wink

Wink

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