Lipschitz-Stetigkeit

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21.11.2017, 09:33	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit Hallo zusammen, Ich habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt(2+3x) \end{eqnarray}$ a) Ist die Funktion Lipschitz-stetig im Punkt $\begin{eqnarray} x_{0} = 1 \end{eqnarray}$ ? Berechnen Sie ggfls. die Lipschitz-Konstante L in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ . b) Zeigen Sie, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray} [0,3) \end{eqnarray}$ Lipschitz-stetig ist und berechnen Sie eine Lipschitz-Konstante L. Leider habe ich noch nicht so ganz verstanden wie das mit der Lipschitz Stätigkeit funktioniert. Deshalb würde ich mich freuen wenn Ihr mir helfen könntet die Aufgabe zu lösen. LG
21.11.2017, 10:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Lipschitz-Stetigkeit einer Funktion $\begin{align} f:\;D\to \mathbb{R} \end{align}$ bedeutet, dass es ein $\begin{align} L>0 \end{align}$ gibt, so dass $\begin{align} \left\| f(x_1)-f(x_2) \right\| \leq L\cdot \left\| x_1-x_2 \right\| \end{align}$ für alle $\begin{align} x_1,x_2\in D \end{align}$ gibt. Am besten gibst du also für dein $\begin{align} f(x)=\sqrt{2+3x} \end{align}$ auf $\begin{align} D=[0,3) \end{align}$ so ein $\begin{align} L \end{align}$ an, inklusive Nachweis! Da kann man z.B. mit der dritten binomischen Formel loslegen $\begin{align} f(x_1)-f(x_2) = \sqrt{2+3x_1}-\sqrt{2+3x_2} = \frac{2+3x_1-(2+3x_2)}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}} = \frac{3}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}} \cdot (x_1-x_2) \end{align}$ . Wenn es jetzt noch gelingt, den Vorfaktor $\begin{align} \frac{3}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}} \end{align}$ durch eine von $\begin{align} x_1,x_2\in [0,3) \end{align}$ unabhängige Zahl $\begin{align} L \end{align}$ nach oben abzuschätzen, ist man fertig. Eine Idee dazu? Zu a) Lipschitz-stetig in einem Punkt $\begin{align} x_0 \end{align}$ bedeutet, dass es eine $\begin{align} \delta \end{align}$ -Umgebung von $\begin{align} x_0 \end{align}$ sowie eine (ggfs. von $\begin{align} \delta \end{align}$ abhängige) Konstante $\begin{align} L>0 \end{align}$ gibt, so dass $\begin{align} \left\| f(x)-f(x_0) \right\| \leq L\cdot \left\| x-x_0 \right\| \end{align}$ für alle $\begin{align} x\in U_{\delta}(x_0) \end{align}$ gilt. Von der obigen Umformung bei b) inspiriert fällt dir dazu sicherlich was ein. P.S.: Stetigkeit mit ä, das ist doch mal was anderes als das ewige Standart-Einerlei.
21.11.2017, 11:11	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Kann ich nicht für $\begin{eqnarray} x_{1}, x_{2} \end{eqnarray}$ den kleinsten möglichen Wert nehmen also 0? dementsprechend: $\begin{eqnarray} &&=\frac{3}{\sqrt(2+30)+\sqrt(2+30)}\\&&=\frac{3}{2\sqrt(2)} \end{eqnarray}$ Dementsprechend müsste die Lipschitz Konstante $\begin{eqnarray} L=\frac{3}{2\sqrt(2)} \end{eqnarray}$ sein. zu a) verstehe ich noch nicht ganz was noch fehlt. Wenn ich mir Beispiele anschaue hören Sie wo du mit der Umformung aufgehört hast auf und sagen es ist Lipschitz-Stetig. haha stimmt das mit dem ä habe ich wohl etwas verpeilt
21.11.2017, 11:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, $\begin{align} x_1=0,x_2=0 \end{align}$ ist der worst-case, d.h., dort ist dieser Vorfaktor am größten, damit ist $\begin{align} L = \frac{3}{2\sqrt{2}} \end{align}$ eine passende und tatsächlich auch die kleinstmöglich wählbare unter allen Lipschitzkonstanten hier. Sie passt dann natürlich auch für a) im Fall $\begin{align} \delta\leq 1 \end{align}$ , denn dann ist $\begin{align} U_{\delta}(1)\subset [0,3) \end{align}$ , aber man kann insbesondere für $\begin{align} \delta\to 0 \end{align}$ noch kleinere Lipschitzkonstanten finden.
21.11.2017, 11:32	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre also zu a) die Stetigkeit bewiesen wenn ich stehen habe: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2\sqrt(2)}(x_{1}-x_{2}) \end{eqnarray}$ ?
21.11.2017, 12:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll im Zusammenhang mit a) jetzt $\begin{align} x_1,x_2 \end{align}$ bedeuten? Ohne jede Erläuterung das durch Copy+Paste von b) hinknallen funktioniert nicht.
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21.11.2017, 13:46	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wenn es $\begin{eqnarray} \\|x1-x2\\| \end{eqnarray}$ wäre, dann wäre es ja $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ so dass wir hätten: $\begin{eqnarray} &&=\\|f(x)-f(x_{0})\\|\leq\frac{3}{2\sqrt(2)}\\|x-x_{0}\\|\\&&=\epsilon\leq L\delta \end{eqnarray*}$ Wo halt gerade mein Problem ist, ist das ich nicht weiß was ich jetzt am schluss zu zeigen habe.
21.11.2017, 21:23	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir eine vielleicht bitte noch jemand bei der a) helfen? ich stehe immernoch auf dem Schlauch....
22.11.2017, 12:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann doch dieselbe Idee wie oben bei b) heranziehen, nur dass der eine x-Wert diesmal fest ist, also $\begin{align} x_2=x_0=1 \end{align}$ : $\begin{align} f(x_1)-f(x_0) = f(x_1)-f(1) = \frac{3}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{5}} \cdot (x_1-1) \end{align}$ . Nun soll hier $\begin{align} x_1\in U_{\delta}(x_0) = (1-\delta,1+\delta) \end{align}$ sein, und damit können wir $\begin{align} L \end{align}$ so festlegen, dass $\begin{align} \frac{3}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{5}} \end{align}$ maximal (besser gesagt: supremal) wird für $\begin{align} x_1 \end{align}$ aus diesem Intervall. Das geschieht gerade an der unteren Grenze $\begin{align} 1-\delta \end{align}$ , somit kann man $\begin{align} L \end{align}$ gemäß $\begin{align} L = \frac{3}{\sqrt{5-3\delta}+\sqrt{5}} \end{align}$ festlegen. Für $\begin{align} \delta\to 0 \end{align}$ strebt dieser Wert dann gegen $\begin{align} \frac{3}{2\sqrt{5}} \end{align}$ , was gerade dem Ableitungswert $\begin{align} f'(1) \end{align}$ entspricht.
22.11.2017, 17:58	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso man versucht also das x mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ einzugrenzen und abzuschätzen. Ich denke ich habe es verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld

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