Untersuchung auf Konvergenz

21.11.2017, 18:07	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung auf Konvergenz Hallo, die Funktion $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=ne^{-nx} \end{eqnarray}$ ist auf $\begin{eqnarray} R^{+} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz zu untersuchen, und zwar: punktweise Konvergenz gleichmäßige Konvergenz kompakte Konvergenz ich habe mir angeschaut ab wann $\begin{eqnarray} f_{n+1}<f_{n} \end{eqnarray}$ gilt und kam auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} e^{x}>1+1/n \end{eqnarray*}$ , es gibt also zu jedem x>0 ein n ab dem die Folge fallend ist, würde also sagen sie konvergiert fast überall bis auf endlich viele. Bin ich auch dem richtigen Weg oder bringe ich wieder Sachen durcheinander? LG Konrad
21.11.2017, 18:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung auf Konvergenz Das erste stimmt. Für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ irgendwann eine monoton fallende Folge. Frage ist wann eine monotone Folge konvergiert.
21.11.2017, 19:21	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sie nach unten beschränkt ist so weit ich weiß, und das ist der Ausdruck ja zumindest mal durch 0. Grenzwert war keiner gefragt. Die drei Konvergenzarten irritieren mich. LG
21.11.2017, 19:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und damit hast du sofort punktweise Konvergenz. Für (iii) spätestens, benötigst du aber den punktweisen Grenzwert. Also würde ich mir jetzt schon die Mühe machen ihn auszurechnen Und $\begin{eqnarray} n e^{-nx} = \frac { n } { e^{nx} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ ist nicht zu schwer. Es reichen bereits simple Abschätzungen an $\begin{eqnarray} e^{nx} \end{eqnarray}$ oder L'Hospital (wenn man $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ als reellwertig auffasst und die stärkere Aussage zeigt).
22.11.2017, 23:18	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ok mit L'Hopital ist die Ableitung des Zählers 0 und des Nenners $\begin{eqnarray} ne^{nx} \end{eqnarray*}$ womit der Ausdruck gegen 0 geht. LG Konrad
22.11.2017, 23:49	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Da IfindU anscheinend gerade nicht da ist: Die Ableitung des Zählers ist 1, du betrachtest ja hier n als Variable und nicht als Konstante.
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23.11.2017, 13:21	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Oweh, danke, dann hab ich im Zähler 1 und im Nenner x mal des Exponentialausdruck und der geht dann gegen unendlich. LG Konrad

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