Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis

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Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Meine Frage:
Hallo, ich muss folgende Äquivalenz zeigen aus den Kenntnissen der Linearen Algebra, jedoch fehlt mir schon die Idee wie ich mit dem Beweis anfangen soll. Kann mir hier geholfen werden?
[latex]
Für $A\in \mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb R ^n $ ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn für jedes $y\in\mathbb{R}^m$ mit $A^Ty=0$ auch $y^Tb=0$ gilt.[\latex]

Lg.

Meine Ideen:
Ich hab irgendwie das Gefühl, dass es mit Farkas klappen könnte, jedoch handelt es sich dann um Ungleichungen??
StudentMaths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Für ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn für jedes mit auch gilt.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Die Richtung folgt sofort aus , indem du von links mit multiplizierst.

Für die andere Richtung würde ich benutzen: Die Gleichung hat genau dann eine Lösung, wenn und die erweiterte Matrix den gleichen Rang haben.
StudentMaths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Das heißt also:
: Sei , dann gilt: . Und dann? Kann ich sagen, sei nun dann ist ?

Bei der Rückrichtung, weis ich nicht ganz genau was du meinst? Wie könnte ich da anfangen? Deren rang gleichsetzen oder wie?

Danke smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Du hast und und willst . D.h. irgendwie musst du in wieder erkennen.

Die andere Richtung. Du musst zeigen, dass du aus den Spalten von durch Linearkombinationen erzeugen kannst.
StudentMaths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Sorry aber ich dreh hier ständig im Kreis. Sitz gerade auf der Leitung... bei a) und b). Kannst du mir bitte noch ein paar Ansätze geben?
StudentMaths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Also ich hab und

Ich kann sagen und mit gilt aber da dreh och ständig im Kreis.

die b) fehlt mir ganz bis jetzt :/

lg
StudentMaths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
Kann mir bitte noch einer weiterhelfen? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösbar, Beweis
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