Basis des Kerns einer Abbildung bestimmen

21.11.2017, 19:33	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns einer Abbildung bestimmen Meine Frage: Hi, ich habe die Aufgabe eine Basis des Kerns einer Abbildung zu bestimmen, die von Mat 2x2(R) auf Mat 2x2 (R) abbildet. Ich habe auch ein Ergebnis, allerdings erhalte ich, wenn ich die Basis in f einsetze an einer Stelle -2 anstatt 0. Ich finde allerdings den Fehler nicht und bin mir nicht sicher, ob ich an einer Stelle nur einen Rechenfehler gemacht habe oder mein Ansatz falsch ist Meine Ideen: Als erstes habe ich die Abbildungsmatrix gebildet und mit dem 0-Vektor gleichgesetzt, wodurch ich Ergebnisse für meine Variablen herausbekommen habe und mit diesen eine neue 2x2-Matrix erhalten, die von einer der Variablen abhängig war. Meine Vermutung war dann, dass diese Matrix eine Basis vom Kern ist, allerdings lieferte sie mir wie oben beschrieben nicht das richtige Ergebnis.
22.11.2017, 00:33	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du bleibst etwas schwammig, deshalb weiß ich nicht, ob ich dich richtig verstehe. Mir scheint aber, dass dein Ansatz falsch ist. Beispiel (ist zwar jetzt nicht Mat(2x2) in sich selber, aber das Prinzip ist dasselbe; du kannst die auch zu Vektoren des \|R^4 "ausrollen") $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2, f(x):=Ax \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Nach dem ersten Gaußschritt (II') = (II) - (I) erhalten wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Die Spalten dieser Matrix sind beide (1,0) und bilden tatsächlich NICHT eine Basis des Kerns. Statt dessen übersetzt man sich die obere Zeile wieder in eine Gleichung $\begin{eqnarray} x_1+x_2=0 \end{eqnarray}$ und setzt $\begin{eqnarray} x_2:=t \end{eqnarray}$ , was zur Folge hat: $\begin{eqnarray} x_1=-t \end{eqnarray}$ . Für Vektoren (x_1,x_2) aus dem Kern gilt also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Daraus liest man ab, dass eine Basis des Kerns gegeben ist durch $\begin{eqnarray} \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ . Auch wenn es vermutlich etwas weniger trivial ist als meins - kannst du diese Vorgehensweise auf dein Beispiel übertragen? LG sibelius84
22.11.2017, 18:22	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich eine 2x2-Matrix mit 4 Variablen in f einsetzen diese gleich 0 setzen und dann mit dem Gauß Algorithmus die 4 Gleichungen,die ich erhalte auflösen und erhalte eine Basis des Kerns?
22.11.2017, 23:32	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hört sich soweit richtig an!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »