Häufungspunkte in der Gaußschen Zahlebene

22.11.2017, 10:02

hpkomp

Häufungspunkte in der Gaußschen Zahlebene

Hallo zusammen,

ich muss alle Häufungspunkte der folgenden Teilmenge M von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ; bestimmen und entscheiden Sie, ob M offen ist, abgeschlossen ist oder keine dieser Eigenschaften besitzt.

$\begin{eqnarray*} M:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}+\frac{i}{n}:m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ }

Meine Idee:

HP:

1. wenn n nach unendlich geht: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ ist ein HP

2. wenn m nach unendlich geht: $\begin{eqnarray*} \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ ist ein HP

3. wenn n und m nach unendlich gehen: 0 ist ein HP

Die 3 HP sind nicht in der Menge M und somit ist M offen.

22.11.2017, 11:12

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Du hast alle komplexen Häufungspunkte vergessen, die in M oder nicht in M liegen.
2. Eine offene Menge enthält zu jedem ihrer Punkte eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung. Das sieht hier nicht so aus.

22.11.2017, 12:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hpkomp
Die 3 HP sind nicht in der Menge M

Die Begründung an sich ist gut, nur passt sie eben für eine andere Eigenschaft als "M offen".

Das mit den "3 HP" ist etwas unglücklich formuliert, es sind ja eher 3 Mengen von Häufungspunkten, die du da aufgelistet hast, von denen die ersten beiden jeweils abzählbar unendlich viele HP enthalten, die letzte allerdings nur einen (die Null).

@Elvis

Mir ist nicht so ganz klar, was du mit Anmerkung 1 meinst. Abgesehen von meiner Anmerkung eben wüsste ich nicht, welche HP in der Aufzählung noch fehlen. verwirrt

22.11.2017, 13:20

hpkomp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

1. Was meinst Du, dass ich alle komplexen Häufungspunkte vergessen habe? Die Häufungspunkte $\begin{eqnarray*} \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ sind alle komplexen Häufungspunkte.

2. Für Nummer 1. der Häufungspunkte: wenn n nach unendliche geht, dann ist die Teilfolge immer näher zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ ist nicht inklusive in der Menge M.

22.11.2017, 13:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hpkomp
Die Häufungspunkte $\begin{eqnarray*} \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ sind alle komplexen Häufungspunkte.

Wohl kaum, du hast selbst oben ja mehr genannt. Vermutlich meinst du hier "komplex" in dem Sinne "komplexe Zahlen mit Imaginärteil ungleich Null". Denn alle reellen Zahlen sind ja insbesondere auch komplexe Zahlen. Mehr Sorgfalt bei den Formulierungen!

22.11.2017, 13:46

hpkomp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000,

ja ich hab das auch gemerkt. Ich habe erste bewiesen, dass M beschränkt ist und per dem Satz von Bolzano-Weierstrass existiert mindestens einen Häufungspunkt. Und da ich 3 sozusagen Häufungspunktmengen (eine Menge ist enthält nur ein Element, also 0) gefunden haben, dann liegen in jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ von jedem Häufungspunkt unendliche viele Punkte von M. Also:

$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(m_0) \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} {m' \in M; |m'-m_0| < \epsilon} \end{eqnarray*}$ } wobei $\begin{eqnarray*} m_0 \end{eqnarray*}$ ein HP ist und $\begin{eqnarray*} m' = \frac{1}{m} + \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ . Da für alle m' in M gibt es keinen Fall, indem $\begin{eqnarray*} |m'-m_0| = 0 \end{eqnarray*}$ , ist die Menge M offen.

22.11.2017, 15:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gibt es wohl ein Missverständnis:

Es geht nicht darum, ob die Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ offen in Grundmenge $\begin{align*} M \end{align*}$ ist - das ist sie, na klar (denn es ist eine triviale Eigenschaft, dass jede Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ offen innerhalb der Grundmenge $\begin{align*} A \end{align*}$ versehen mit einer beliebigen Topologie ist).

Sondern darum, ob die Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ offen in Grundmenge $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ ist - und das ist sie nicht (siehe Anmerkung 2 von Elvis).

22.11.2017, 17:49

hpkomp

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist sie nicht? Ist es wegen des Anordnungsprinzips, das nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt?

22.11.2017, 18:12

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu meiner 1. Bemerkung: Ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt $\begin{eqnarray*} H\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , falls jede $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Punkte aus $\begin{eqnarray*} M\backslash \{H\} \end{eqnarray*}$ enthält. (Georg Cantor 1872 "Grenzpunkt", Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre" - Definition "Häufungspunkt": 2.2)

Damit sind alle Punkte aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Häufungspunke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und noch alle anderen Punkte in der abgeschlossenen Hülle $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ , das ist das kleinste abgeschlossene Quadrat um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

KORREKTUR: Ich habe mich vertan. Nehme alles zu Punkt 1. zurück und stimme euch zu.

Zu 2. Eine Menge ist offen, wenn jeder Punkt aus M eine Umgebung hat, die ganz im M liegt. Das gilt für keinen Punkt aus M, "weniger offen geht nicht".

23.11.2017, 08:20

hpkomp

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... aber 1/m ist für den reellen Teil...so alle Werte von (0,1] an der reellen Achse sind in der Menge M. Das gleiche für Im(M) für n. Entschuldigung aber ich sehe das nich nicht, wieso sie nicht offen ist. Kann sie dann abgeschlossen sein?

23.11.2017, 08:49

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1+i\in M\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} U_{\frac 1 2}(1+i)=\{1+i\}\Rightarrow \forall \epsilon \le \frac 1 2 : U_{\epsilon}(1+i)\not\subseteq M\Rightarrow M \end{eqnarray*}$ ist nicht offen. Ein einziger isolierter Punkt genügt schon, um zu beweisen, dass eine Menge nicht offen ist. M hat nur isolierte Punkte.

Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Das ist hier nicht der Fall, also ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ weder offen noch abgeschlossen. Beachte : $\begin{eqnarray*} (\frac 1 m,0)\notin M \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N : \frac i n \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

23.11.2017, 09:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie verwirrt ihr beiden mich in diesem Thread:

Ich hatte immer gedacht, wir befinden uns hier in Grundraum $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ , versehen mit der üblichen euklidischen Topologie. Dort ist aber mitnichten $\begin{align*} U_{\varepsilon} (1+i) = \{1+i\} \end{align*}$ , sondern die offene Kreisscheibe $\begin{align*} U_{\varepsilon} (1+i) = \left\{ z\in\mathbb{C} \bigm| |z-(1+i)| < \varepsilon \right\} \end{align*}$ . Und für die gilt $\begin{align*} U_{\varepsilon} (1+i)\not\subseteq M \end{align*}$ für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ .

23.11.2017, 10:44

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1+i\in M\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} U_{\frac 1 2}(1+i)=\{1+i\}\Rightarrow \forall \epsilon \le \frac 1 2 : U_{\epsilon}(1+i)\not\subseteq M\Rightarrow M \end{eqnarray*}$ ist nicht offen.

Sorry, habe mich verschrieben. Richtig muss das so heißen:
Für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1+i\in M\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} U_{\frac 1 2}(1+i)\cap M=\{1+i\}\Rightarrow \forall \epsilon \le \frac 1 2 : U_{\epsilon}(1+i)\not\subseteq M\Rightarrow M \end{eqnarray*}$ ist nicht offen.

23.11.2017, 19:32

hpkomp

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh!

jetzt verstehe ich! Ich danke Euch für die Muhe.

Neue Frage »

Antworten »

Häufungspunkte in der Gaußschen Zahlebene

Verwandte Themen