Lin Abbildung diagonalisierbar
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22.11.2017, 14:25 Specialagent Auf diesen Beitrag antworten »
Lin Abbildung diagonalisierbar
Hallo, ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe

Zitat:
Sei V ein endlich-dimensionaler IR-Vektorraum und phi : V -> V eine IR-lineare Abbildung, so dass es Vektoren ungleich 0 x,y € V mit phi(x) = y und phi(y) = -x gibt. Zeigen Sie, dass phi nicht diagonalisierbar ist.


Was ich weiß ist, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn das char. Polynom vollst. zerfällt und die Vielfachheiten gleich sind. Hier habe ich aber eine lin. Abbildung

Eine lin. Abbildung phi: V -> V ist diagonalisierbar, wenn VR V eine Basis aus Eigenvektoren zu phi besitzt. Stimmt das so?

Ich müsste also in meiner Aufgabe zeigen, dass es diese Basis nicht gibt? Ist das überhaupt der richtige Ansatz oder gibt es da einen geeigneteren Weg?

Danke für jede Hilfe
22.11.2017, 23:44 sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin Abbildung diagonalisierbar
Hi Specialagent,

Zitat:
Original von Specialagent
Eine lin. Abbildung phi: V -> V ist diagonalisierbar, wenn VR V eine Basis aus Eigenvektoren zu phi besitzt. Stimmt das so?


Absolut! Hilfreich könnte noch sein: Wenn sie bzgl. einer Basis diagonalisierbar ist, dann ist sie bzgl. jeder Basis diagonalisierbar. (Ganz einfach deshalb, weil man ja von jeder beliebigen Basis zu der Diagonal-Basis rüberwechseln kann.)

Vielleicht könntest du jetzt mal anschauen, wie die Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis aussieht, die als erste zwei Vektoren gerade x und y enthält. (Dafür müsstest du dich vorher noch davon überzeugen, dass x und y linear unabhängig sind.)

LG
sibelius84
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