Konvergenz einer Reihe und ihrer Teilfolgen

22.11.2017, 16:16

Krischon

Konvergenz einer Reihe und ihrer Teilfolgen

Meine Frage:
Hi,

Ich habe mit $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen, sodass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Ich möchte zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_{2k-1}+a_{2k}) \end{eqnarray*}$ konvergiert und dass die beiden Reihen gleich sind.

Meine Ideen:
Ich denke wahrscheinlich zu einfach, aber letztendlich kann ich ja einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2k-1}+a_{2k} ) \end{eqnarray*}$ gleich sind. Da $\begin{eqnarray*} a_{2k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2k} \end{eqnarray*}$ aber sich ergänzende Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ sind, ist das doch schon erledigt..?
Oder wäre es sinnvoller über einen Widerspruchsbeweis zu gehen?
hm..

22.11.2017, 16:32

HAL 9000

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Der Beweis ist denkbar simpel, wenn man genau nach Definition geht, was Reihenkonvergenz bedeutet:

Die liegt nämlich genau dann vor, wenn die Folge $\begin{align*} s_n = \sum_{k=1}^n a_k \end{align*}$ der Partialsummen der Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{align*}$ konvergiert.

Nun ist die Partialsummenfolge deiner zweiten Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_{2k-1}+a_{2k}\right) \end{align*}$ nichts weiter als eine Teilfolge (!) der Partialsummenfolge der ersten Reihe, nämlich nur jedes zweite Glied von letzterer.

Die Behauptung folgt damit schlicht aus der Eigenschaft, dass sämtliche Teilfolgen einer konvergenten Folge ebenfalls konvergieren, und zwar gegen denselben Grenzwert.

Zitat:

Original von Krischon
und dass die beiden Reihen gleich sind.

Sind sie nicht. Was du meinst ist, dass die beiden Reihenwerte gleich sind - das ist was anderes!

22.11.2017, 17:04

Krischon

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Ah ok. Das macht Sinn, klasse!

Wie kann ich das jetzt nutzen für:
$\begin{eqnarray*} <br /> a,b\in {0,...,9}, a\vee b \neq 9.<br /> 0,ababab...=\frac{10a+b}{99} <br /> \end{eqnarray*}$
Ich möchte die Gleichung zeigen. Ich seh nur nicht, wie das oben gezeigte hier verwendet werden kann.. :/

22.11.2017, 19:39

HAL 9000

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Die Dezimalzahl $\begin{align*} 0{,}ababab\ldots \end{align*}$ kann als Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} z_k 10^{-k} \end{align*}$ mit $\begin{align*} z_{2k-1}=a \end{align*}$ sowie $\begin{align*} z_{2k}=b \end{align*}$ geschrieben werden. Mit der oben bewiesenen Eigenschaft ist aber derselbe Wert auch über

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{2k-1} + a_{2k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( z_{2k-1}10^{-(2k-1)} + z_{2k} 10^{-2k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( a10^{-(2k-1)} + b 10^{-2k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} (10a+b)10^{-2k} = (10a+b) \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{100}\right)^k \end{align*}$

berechenbar. Und dann: Geometrische Reihe!

22.11.2017, 20:17

Krischon

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