Konvergenz einer Folge

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Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge
Meine Frage:
Eine Folge konvergiere gegen . Zeigen Sie, dass die Folge

Ebenfalls gegen a konvergiert.


Hinweis: Zeigen Sie für N < n und verwenden dies in einem geeigneten Kontext.

Meine Ideen:
Dass es ein N gibt für das gilt und damit die 2. Summe nur Summanden kleiner Epsilon hat versteh ich auch.


Aber wie ich von Hier dann auf den Ausdruck im Hinweis komme, weis ich nicht.

Könnte mir jemand helfen?
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge
Ich hab versucht das mal irgendwie umzuformen:

Also:
Da das ja nur für die n größer als N stimmen muss, fällt die Summe weg:
für n>N. Es lässt sich also ein N finden, sodass finden. Somit konvergiert gegen a.

Ich glaube nur, dass ich die ein oder andere Umformung nicht hätte machen dürfen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge
Hi Croomer,

Zitat:
Original von Croomer
Ich hab versucht das mal irgendwie umzuformen:


manchmal schätzt man zwar etwas 'unscharf' ab, aber direkt ein ganzes n dazuzuhauen, das wäre absolut atypisch. Denn n wächst ja und man will das ganze ja gerade klein halten. Dementsprechend kann dein "n*epsilon" da hinten auch ungehindert sein Unwesen treiben, was nicht sein darf...

Versuch doch mal Folgendes:

.

Erfinde eine Zahl N (stell dir z.B. n als 100.000 vor und N als 100), wo du das ganze auftrennen kannst.

Es ist gut, wenn du verstehst, dass die hinteren Summanden dann alle <epsilon/n, bzw zusammen <epsilon sind. Aber da du ja alles zusammen kleiner als epsilon bekommen musst, brauchst du, dass die zusammen <epsilon/2 sind. (Wenn <epsilon gilt, gilt auch <epsilon/2, das ist unproblematisch; es geht nur ums korrekte Aufschreiben bzw. Weiterkommen.)

LG
sibelius84
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge
Also
und da für j>N < Epsilon, also insgesammt weniger als n Summanden je kleiner als Epsilon/n sind. Ist die ganze Summe immernoch kleiner Epsilon. Für n>N fällt die 1. Summe dann weg und man hat
für
Also kann ich ein N finden, sodass für alle n>=N |s-a|<Epsilon ist. Das ist ja dann die Definition von der Konvergenz, oder?

Edit: Die Betragsstriche darf man einfach in die Summe ziehen, sobald man alles als eine Summe hat, oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den Betragsstrichen gilt die Dreiecksungleichung



bzw.

.

Das heißt insbesondere: Wenn du z.B. gezeigt hast, dass

,

dann folgt daraus auch

.

Die erste Summe fällt nicht weg, so einfach ist es dann nun doch nicht. Was müsstest du mit n anstellen, damit der erste Teil kleiner wird als epsilon/2? Dann musst du dir nur noch überlegen, ob du das darfst, d.h. ob die Abschätzung des hinteren Teils mit epsilon/2 (denk mal an die "halben", die sind wichtig!) unabhängig von n gilt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung: Die hier zu beweisende Behauptung ist unter dem Namen Cauchyscher Grenzwertsatz bekannt.
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

...wieder was gelernt Augenzwinkern Ich hätte jetzt nur noch zusätzlich sagen können, dass uns dies einen stetigen Operator



liefert mit ,

also eine stetige Linearform auf dem Raum aller beschränkten Folgen, die den Limes fortsetzt (wofür man Wohldefiniertheit und Stetigkeit freilich noch zeigen muss, was nicht ganz trivial ist). Wenn man das Spielchen weitertreibt mit Potenzen o.ä., heißt es "Cesaro-Limes", oder? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass ich nicht der einzige bin, der dachte dieses sei wohldefiniert. Big Laugh Es gibt aber beschränkte Folgen, für den der Cauchy Grenzwert nicht existiert.

Edit Cesàro-Mittel Hier wurde es zum Beispiel etwas behandelt.
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Die erste Summe fällt nicht weg, so einfach ist es dann nun doch nicht. Was müsstest du mit n anstellen, damit der erste Teil kleiner wird als epsilon/2? Dann musst du dir nur noch überlegen, ob du das darfst, d.h. ob die Abschätzung des hinteren Teils mit epsilon/2 (denk mal an die "halben", die sind wichtig!) unabhängig von n gilt.


Also dass die Zweite Summe kleiner als ein beliebiges Epsilon und damit auch Epsilon/2 ist, ist mir klar.

Ich habe noch etwas in einem Buch gestöbert und die Aussage "Alle konvergenten Folgen sind beschrenkt" gefunden. Das heißt ja, dass ist. Da die erste Summe N-1 Summanden hat, ist die erste Summe also kleiner gleich ((N-1)/n)*M. Du sagtest ja, die erste Summe soll auch kleiner Epsilon/2 sein.
Da ja n die Variable ist, "auf die es ankommt" komm ich umgeformt auf n>=(2M*(N-1))/Epsilon.
Also ist die 1. Summe für alle n größer gleich diesem Wert kleiner gleich Epsilon+2, zusammen mit der zweiten summe kleiner als Epsilon.

Das ist ja genau das, was ich gebraucht habe.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Croomer
Also ist die 1. Summe für alle n größer gleich diesem Wert kleiner gleich Epsilon+2, zusammen mit der zweiten summe kleiner als Epsilon.

Das ist ja genau das, was ich gebraucht habe.


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