Folgen auf Konvergenz untersuchen

22.11.2017, 20:19

Fragewurm

Folgen auf Konvergenz untersuchen

Hallo,

die vorliegenden Folgen sollen auf Konvergenz untersucht werden und ggf. soll ein Grenzwert angegeben werden. Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob das Vorgehen in Ordnung ist bzw. ausreicht.

1) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1}{n} + \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich die Sandwichmethode angewandt $\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{1}{n} + \sqrt[n]{2} \leq 1 + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und somit gezeigt, dass der Ausdruck gegen 1 konvergiert.

2) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2n}{3n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

Einen Grenzwert konnte ich nicht ermitteln, da der für n gegen unendlich scheinbar gegen 0,000666 strebt. Kann man den Grenzwert hier überhaupt exakt benennen? Mittels Grenzwertsätzen habe ich es zu $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2n}{n} }{\frac{3n^{2} }{n}+ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ umgeformt, was ja gegen unendlich strebt.

3) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{n^3+n^2+1}{n^2+2} \end{eqnarray*}$ strebt ja gegen unendlich, aber ich bekomme $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{n^3+n^2+1}{n^2+2}=\frac{n^3(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}) }{n^3(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3} ) } = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ raus.

4) $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{(-2)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

Dies ist ja divergent, was ich wie folgt bewiesen habe:

$\begin{eqnarray*} | (-2)^n -a| = (-2)^n-a\geq (a+1)-a=1=E \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{n+2^{-n} } \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz gegen 1 habe ich so gezeigt:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{\frac{2^nn}{2^n}+\frac{1}{2^n} } = \sqrt[n]{n+1} \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen oder sind einige Schritte falsch? Vor allem bei der 3 kommt ja was ganz anderes raus.

Gruß

22.11.2017, 22:37

Helferlein

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Zu 1)
Deine Ungleichung zeigt nur die Beschränktheit, nicht aber die Konvergenz der Folge. Dazu müsstest Du noch Monotonie nachweisen. Alternativ kannst Du eine bessere Abschätzung nutzen, um wirklich das Sandwich-Lemma einzusetzen.

Zu 2) Wie kommst Du auf 0,000666? Das ist nicht der Grenzwert der Folge, der im übrigen sehr leicht zu berechnen ist. Du warst auf dem richtigen Weg. Aber die Aussage am Ende, dass die Folge divergiert, ist sehr verwunderlich. Wie kommst Du zu der Behauptung?

Zu 3) Bis auf das letzte Gleichheitszeichen stimmt die Überlegung. Bedenke, dass Du den Grenzwert berechnen willst und somit kein endlichen Wert für n hast.

Zu 4) Wieso vernachlässigst Du den Nenner? Nur weil der Zähler divergiert, muss es nicht auch die gesamte Folge. (z.B. $\begin{align*} a_n=\frac{n}{n^2} \end{align*}$ )

23.11.2017, 14:23

Fragewurm

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Wie findet man denn eine Abschätzung, die gut genug ist? Habe jetzt $\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{1}{n} + \sqrt[n]{2} \leq \sqrt[n]{2,5} \end{eqnarray*}$ gewählt, wobei die Abschätzung immer noch nicht ideal ist.

Wenn ich mit Monotonie argumentiere, sollte doch

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \sqrt[n+1]{2} \leq \frac{1}{n} +\sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt[n+1]{2} \leq 1+\frac{1}{n} +\sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$

gelten und die Folge somit monoton fallend sein. Aber wie schließe ich hieraus, dass der Grenzwert 1 ist?

Bei der 2) habe ich n gegen unendlich laufen lassen und somit 0,000666 erhalten. Der Ausdruck strebt zwar immer weiter gegen 0, aber das Muster bleibt immer gleich.

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2n}{n} }{\frac{3n^{2} }{n}+ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ kann ich den Grenzwert irgendwie auch nicht bestimmen.

Wie zeige ich es denn bei 3)?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \frac{n^3(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}) }{n^3(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3} ) } \end{eqnarray*}$ kürze, konvergiert der Zähler ja gegen 1 und der Nenner gegen 0. Hieraus kann ich denn Grenzwert auch nicht erkennen.

Die Abschätzung beim Sandwichlemma in 4) wäre dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{n} \leq \frac{2}{n^2} \leq \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ , oder?

23.11.2017, 14:40

klarsoweit

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Bei Aufgabe 1 ist erst mal die Frage, wie überhaupt $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray*}$ definiert wurde.

Bei Aufgabe 2 kürzt du besser durch n². Ebenfalls bei Aufgabe 3.

23.11.2017, 15:16

Fragewurm

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Die Grenzwert der n-ten Wurzel einer Konstante ist ja immer 1. Deshalb suche ich einen Wert, der nur marginal größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Bei der 2) wäre das dann

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^2+1} = \frac{n^2(\frac{2}{n}) }{n^2(3+\frac{1}{n^2}) } = \frac{\frac{2}{n} }{3+\frac{1}{n^2} } \end{eqnarray*}$

Und bei der 3)

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+n^2+1}{n^2+2} = \frac{n^2(n+1+\frac{n}{n^3}) }{n^2(1+\frac{2}{n^2}) } = \frac{n+1+\frac{1}{n^2} }{1+\frac{2}{n^2} } \end{eqnarray*}$

23.11.2017, 15:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fragewurm
Die Grenzwert der n-ten Wurzel einer Konstante ist ja immer 1. Deshalb suche ich einen Wert, der nur marginal größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Nun ja, das Sandwich-Lemma ist nicht immer geeignet. Möglicherweise kennst du auch andere Grenzwertsätze, wie z.B. den Summensatz für Grenzwerte.

Analoges kommt auch Bei Aufgabe 2 zu Einsatz. Gegen was konvergiert der Zähler bzw. Nenner?

Bei Aufgabe 3 konvergiert der Nenner gegen einen Wert ungleich Null. Der Zähler hingegen divergiert gegen unendlich. Damit steht da das Ergebnis ebenfalls fest.

23.11.2017, 16:25

Fragewurm

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Die Folge in 1) habe ich mittels Grenzwertsätze so umgeformt: $\begin{eqnarray*} \frac{1+n\sqrt[n]{2} }{n} \end{eqnarray*}$ , wobei die Konvergenz hieraus noch nicht ersichtlich wird.

2)

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^2+1} = \frac{n^2(\frac{2}{n}) }{n^2(3+\frac{1}{n^2}) } = \frac{\frac{2}{n} }{3+\frac{1}{n^2} } \end{eqnarray*}$

& 3)

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+n^2+1}{n^2+2} = \frac{n^2(n+1+\frac{n}{n^3}) }{n^2(1+\frac{2}{n^2}) } = \frac{n+1+\frac{1}{n^2} }{1+\frac{2}{n^2} } \end{eqnarray*}$

habe ich bereits mit den Grenzwertsätzen auf diese Form gebracht, aber wie lese ich denn hier letztendlich ab, gegen was die Ausdrücke konvergieren? Bei der 2) konvergiert der Zähler ja gegen 0 und der Nenner gegen 3. Bei der 3) divergiert der Zähler gegen unendlich und der Nenner gegen 1.

23.11.2017, 16:58

klarsoweit

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Zu 1: betrachte die Summanden einzeln. Zusammenfassen bringt nichts.

Zu 2: und was ergibt 0/3 ?

Zu 3: daraus folgt die Divergenz.

23.11.2017, 19:32

Fragewurm

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Dann könnte man ja bei der 1) direkt sagen, dass die Folge gegen 1 konvergiert und somit keinerlei Umformungen machen muss, um dies zu zeigen.

Also ist die 2) eine Nullfolge.

Danke!

23.11.2017, 20:05

klarsoweit

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So ist es. Wie gesagt: Kenntnis der Grenzwertsätze ist elementar nötig.

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