Konvergenz in einer Norm

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Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in einer Norm
Meine Frage:
Hallo,

ich soll Zeigen, dass eine Folge genau dann in der Supremumsnorm konvergiert, wenn sie in der Summenform konvergiert.


Meine Ideen:
Aber wie konvergiert eine Folge in einer Norm, ich kann mir darunter garnichts vorstellen.

Ich nehme ja ein Tupel und die Supremumsnorm gibt mir das Supremum der beiden Werte. Wie soll da was konvergieren, wenn ich immer nur 2 Werte nehme?


Eine Idee hab ich jetzt doch:
Wenn eine Folge in der Summennorm konvergiert, mit ||(a,b)||=|a|+|b|, dann ist ja |a| und |b| kleiner gleich als der Grenzwert k, also |a|+|b|<=2k.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann ich ja sagen, dass |a|<|b|, also supremum(|a|,|b|)=|b|.
Daraus folgt:
2k >= |a|+|b| >= |b| >= sup(|a|,|b|)
Also wird die Folge auch in der Supremumsnorm nie größer als 2k, ist also konvergent.


Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Croomer,

sei ein normierter Raum. Dann heißt eine Folge konvergent gegen x, wenn eine Nullfolge ist, im Sinne der aus den reellen Zahlen bekannten Definition mit dem epsilon usw.

Sei z.B. X der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1]. Dann sind



und



zwei Normen auf X. Betrachte nun die berühmte Standardbeispielfolge mit . Dann konvergiert diese Folge in der 1-Norm gegen die Nullfunktion. Um das zu zeigen, muss man nur einsetzen und ausrechnen:

.

Sie konvergiert aber nicht in der -Norm gegen die Nullfunktion. Auch dafür setzt man nur ein und schaut:



und das konvergiert offenbar nicht gegen 0.

Also: Wer im unendlichdimensionalen Funktionenraum sitzt, sollte nicht mit Normen werfen! In deiner Aufgabe geht es darum, dass im endlichdimensionalen |R^n alles etwas ruhiger und geregelter (dafür aber auch langweiliger) zugeht.

LG
sibelius84
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