Zeit bei ungleichmäßiger Beschleunigung

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radiolaria Auf diesen Beitrag antworten »
Zeit bei ungleichmäßiger Beschleunigung
Hallo zusammen,

ich bearbeite gerade eine physikalische Aufgabe mit ungleichmäßiger Beschleunigung.

" Auto,(oder Rakete, egal) startet von Null (Weg und Zeit) mit einer anfänglichen Beschleunigung. Mit zunehmender Fahrt nimmt die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Strecke zu und somit auch die Geschwindigkeit.
Gesucht ist die Zeit t für eine gefahrenen Strecke s."

Ich habe für die Geschwindigket eine Funktion g in Abhängigket von s,
außerdem für die Beschleuigung eine Funktion h in Abhängigkeit von s.
Suchen tu ich aber eine Weg-Zeit Funktion f(t)=s

Kurz: Ich weiß zu jeder gefahrenen Strecke die aktuelle Geschwindigkeit und Beschleunigung, aber nicht die Zeit, die man für die Strecke braucht.

Hätte ich für die Geschwindigkeit eine Funktion v(t) könnte ich deren Stammfunktion s(t) bilden.
Da aber v(t)=g(s) ist und s wiederum f(t) komme ich auf folgende Gleichung:


Zunächst mal wüsste ich gerne ob dies prinzipiell lösbar ist.
vielen Dank für Antworten
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeit bei ungleichmäßiger Beschleunigung
Zitat:
Original von radiolaria
Mit zunehmender Fahrt nimmt die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Strecke

In welcher Form nimmt die Beschleunigung zu, proportional zu Strecke oder mit einer anderen gegebenen Funktion? Bei Proportionalität ist die Aufgabe leicht lösbar. Bei einer anderen funktionalen Abhängigkeit kommt es auf die konkrete Funktion an.


Zitat:
Ich habe für die Geschwindigket eine Funktion g in Abhängigket von s

Woher?
So wie ich die Aufgabe verstehe, musst du die Geschwindigkeit erst aus der Beschleunigung berechnen. Und da die Beschleunigung nicht als Funktion der Zeit sondern des Wegs gegeben ist, geht das nicht unmittelbar durch eine Integration der Beschleunigung über die Zeit.

Was ist in der Aufgabe über die Anfangsgeschwindigkeit gesagt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@radiolaria

Wenn du Geschwindigkeit gegeben hast sowie einen Anfangsweg (wird i.d.R. sein), dann ist das eine Differentialgleichung (DGL), genauer gesagt ein sogenanntes Anfangswertproblem (AWP). Da du in der Schulmathematik postest, geht das vermutlich ein wenig über deinen Wissensstand hinaus - es sei denn, du schaust schon ein wenig über den Tellerrand. Augenzwinkern

Die zusätzliche Kenntnis der Beschleunigung ist bei exakter Kenntnis von eigentlich unnötig, sie ergibt sich als Nebenprodukt bei der Lösung der obigen DGL. Bei nur ungefährer Kenntnis von und (wie etwas bei realen Daten, in diskreten Werten vorliegend) kann man natürlich beides geeignet verbinden, um den Fehler klein zu halten (in einer Art Ausgleichungsrechnung), dann wird's aber schon ziemlich kompliziert...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Da du in der Schulmathematik postest...


Sorry, das war ich. "Einfache Differentialgleichungen" gehören zwar in die Schulmathematik, aber ich gebe zu, das hier ist schon Hochschulniveau.

Ich hab's wieder zurückgeschoben.

Viele Grüße
Steffen
radiolaria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeit bei ungleichmäßiger Beschleunigung
Vorweg schon mal Danke für die Reaktionen.
@ HAL 9000
Mein Abi mit Lk Mathe liegt 35 Jahre zurück und das Ingenieurstudium auch schon 30.
Die Aufgabe stellte sich mit Freunden, wo die Behauptungen immer größer waren als die Beweise. Wer kennt das nicht?
Nun wollte ich Nägel mit Köpfen machen, habe aber nicht mehr so viel Routine wie jemand, der sich täglich mit diesen Dingen umgibt.
Deswegen die Anfrage an die wahren Meister.

Zitat:
Original von Huggy
In welcher Form nimmt die Beschleunigung zu, proportional zu Strecke oder mit einer anderen gegebenen Funktion? ...
...die Geschwindigket eine Funktion g in Abhängigket von s..
Woher?
So wie ich die Aufgabe verstehe, musst du die Geschwindigkeit erst aus der Beschleunigung berechnen. Und da die Beschleunigung nicht als Funktion der Zeit sondern des Wegs gegeben ist, geht das nicht unmittelbar durch eine Integration der Beschleunigung über die Zeit.

Was ist in der Aufgabe über die Anfangsgeschwindigkeit gesagt?


Die Beschleunigung h hängt umgekeht proportional mit dem Quadrat der Stecke zusammen.

Die Geschwindigkeit ergab sich nicht aus der Ableitung von h sondern aus dem Energieerhaltungssatz, aber eben auch in Abhängigkeit von der Strecke.
Anfangsgeschwindigkeit ist 0

Zitat:
Original von HAL 9000
Die zusätzliche Kenntnis der Beschleunigung ist bei exakter Kenntnis von eigentlich unnötig, sie ergibt sich als Nebenprodukt bei der Lösung der obigen DGL.


Das ist ja gerade der Knackpunkt, da weder in der Geschwindigkeits- noch in der Beschleunigungsformel die Zeit als abhängige Variable vorkommt, sondern nur eine Strecke, kann man nicht ohne weiteres die Ableitung über die Zeit bilden.

Und eine Stammfunktion von g nach dt lässt sich somit auch nicht direkt finden.

Ich hatte schon überlegt die Geschwindigkeit durch die Beschleunigung an der Strecke s zu dividieren, dann bekomme ich eine Zeit als Ergebnis, aber was ist das für eine Zeit, doch nicht die benötigte Zeit für die Durchquerung der Strecke?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@radiolaria
würde z.B. der freie Fall im radialen Schwerefeld des Mondes deiner Vorstellung entsprechen?

Hier kannst du zu jeder Fallstrecke die Geschwindigkeit und Beschleunigung angeben.
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich mich ja nun schon eingemischt habe, als Wiedergutmachung eine vielleicht hilfreiche Formelsammlung (Seite 4).

Viele Grüße
Steffen
radiolaria Auf diesen Beitrag antworten »

Yep,
@Dopap
genau darum ging es.

"Zwei Massekörper in Ruhe, im Abstand von d, weit draußen fernab von irgendwelchen Störungen fallen aufeinander zu. Wann haben sie den Abstand d-s ?"

wollte ich erst im Physikerboard posten, doch befürchtete ich bei Nennung der Problemlage, genauso eine fruchtlose Endlosdiskussion wie die, aus der diese Fragestellung entsprang.(Gravitation ist bei Physikern nämlich ein empfindliches Glaubens-Dilemma Gott .)

Mein eigentliches Problem ist ja mathematischer Natur.

@Steffen
Dein Fehler verzeih ich Dir sofort, denn die Wiedergutmachung ist (auf den ersten Blick) genau das was ich suche.
Geradlinige Bewegung Fall 4
Wie ich das so sehe, muß ich nur noch eine Stammfunktion vom Kehrwert meiner Funktion g finden um auf t zu kommen.
Was diese Tilde ~ auf dem bedeutet ist mir nicht geläufig
Formelsammlungen sind ja praktisch und ich bin froh, damit weiter rechnen zu können.
Aber mit welcher Regel man nun von
mit
auf

kommt, wüsste ich jetzt nicht.

Vielen Dank

Übungsaufgaben dieser Art fand ich zwar im Netz, aber immer wird nach der Geschwindigkeit gefragt nie nach der Zeit.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von radiolaria

[...] wollte ich erst im Physikerboard posten, doch befürchtete ich bei Nennung der Problemlage, genauso eine fruchtlose Endlosdiskussion wie die, aus der diese Fragestellung entsprang.(Gravitation ist bei Physikern nämlich ein empfindliches Glaubens-Dilemma Gott .)


dann besuch' doch mal die Flacherdler auf YouTube, da findest du echten Glauben. Augenzwinkern

Das "richtige" Modell der Gravitation ist mir eigentlich egal.

Die Tilde ist nur eine Umbenennung der Funktions-Integrationsvariable für Schöngeister.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von radiolaria
"Zwei Massekörper in Ruhe, im Abstand von d, weit draußen fernab von irgendwelchen Störungen fallen aufeinander zu. Wann haben sie den Abstand d-s ?"

Das hättest du mal gleich sagen sollen.

Zitat:
(Gravitation ist bei Physikern nämlich ein empfindliches Glaubens-Dilemma Gott .)

Wie kommst du denn darauf?

Zitat:
Wie ich das so sehe, muß ich nur noch eine Stammfunktion vom Kehrwert meiner Funktion g finden um auf t zu kommen.

Richtig. Du hast dann die Zeit als Funktion des Ortes . Die Umkehrfunktion, den Ort als Funktion der Zeit, kann man bei deinem Problem allerdings nur numerisch bestimmen.

Zitat:
Aber mit welcher Regel man nun von mit aufkommt, wüsste ich jetzt nicht.

Deine Nomenklatur ist mir unverständlich. Nach der ersten Integration bzw. der Anwendung des Energiesatzes hat man die Geschwindigkeit als Funktion des Ortes:





Jetzt integriert man auf beiden Seiten über die Zeit



Die linke Seite kann nun nach der Substitutionsregel integriert werden, in dem von der Integrationsvariablen zu der Integrationsvariablen übergeht. Die Anwendung der Regel wird deutlicher, wenn man die Ableitung mit Differentialen schreibt:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von radiolaria
"Zwei Massekörper in Ruhe, im Abstand von d, weit draußen fernab von irgendwelchen Störungen fallen aufeinander zu. Wann haben sie den Abstand d-s ?"

Zur Physik (und ein wenig schon zur Rechnung):

Seien bzw. die Orte der beiden Körper zum Zeitpunkt , mit sowie sowie und .

Nun interessiert uns nicht die Absolutposition, sondern die relative . Abgesehen vom Gravitationsgesetz kommt hier auch noch das dritte Newtonsche Gesetz "Kraft = -Gegenkraft" zum Tragen, d.h., es ist

, es folgt für die Beschleunigungen sowie und damit durch Differenzbildung um die Differentialgleichung

mit Startwerten sowie .

Dabei ist die Gravitationskonstante und die Massen der beiden beteiligten Körper. Fasst man kurzerhand zusammen, so geht es mit



weiter. Integrationskonstante kann man aus den Anfangswerten zum Zeitpunkt t=0 berechnen zu . Außerdem ist anzumerken, dass die Geschwindigkeit negativ ist, da sich die Körper aufeinander zubewegen (d.h. Abstand s(t) abnimmt):



Und jetzt sind wir genau an dem Punkt, wo Huggy eingestiegen ist.
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