Schnittvolumen von Kugel und Zylinder

Neue Frage »

Lecram92 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittvolumen von Kugel und Zylinder
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe vor kurzem mit einem Verbundstudium begonnen und Mathe ist leider schon etwas her, daher habe ich hier eine Übungsaufgabe, mit der ich große Schwierigkeiten habe :-D

Eine Halbkugel vom Radius R werde von einem Zylinder vom Radius R/2 so durchdrungen, dass der Kugelmittelpunkt auf dem Rand der unteren Grundfläche des Zylinders liegt. Man berechne das beiden Körpern gemeinsame Volumen.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich hier die Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten einsetzen muss. Nur habe ich Schwierigkeiten mit den Grenzen:
Für die Halbkugel habe ich (zur Info: <= : kleiner gleich ; >= : größer gleich)

0<=? <=pi/2 für die Halbkugel
0<= r<= R der Radius der Halbkugel
0<=? <= 2pi
dann müsste ich dxdydz umwandeln nach rdr d? d?. Jedoch weiß ich leider nicht wie ich es mit dem Zylinder machen soll. Ich weiß nur, dass man durch die Integrationsgrenzen, die Schnittmenge der beiden Körper "abbilden kann". Jedoch fällt mir das extrem schwer. Wie kann man da am besten vorgehen.
Ich bitte um Hilfe.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lecram92,

ich sag dir mal die cartesischen Parametrisierungen der Objekte unter der Zusatzannahme h=2R für den Zylinder (hattest du vermutlich vergessen):

und

.

(Dabei sind der Mittelpunkt der Kugel und der Mittelpunkt der Mittelachse des Zylinders zweckmäßigerweise in den Ursprung gelegt.)

Du hast ja im hinteren Teil der Menge nun immer die bestimmenden Ungleichungen für den jeweiligen Körper. Wenn du Kugel- oder Zylinderkoordinaten einsetzt, vereinfachen sich diese entsprechend. Ich würde es vielleicht erstmal mit Zylinderkoordinaten probieren. Du erhältst zwei Ungleichungen an r^2, eine vom Zylinder, eine von der Kugel. Die könntest du zusammenfassen zu einer Ungleichung

und dann konkret ermitteln, für welchen Parameterbereich welcher von beiden Werten das Minimum ist.

Bei Kugelkoordinaten würde man vermutlich Ausdrücke mit sin(phi), cos(phi) im Nenner bekommen und daher halte ich die Zylinderkoordinaten für aussichtsreicher. Manchmal führen in solchen Fällen sogar unerwartet cartesische Koordinaten zum Ziel.

LG
sibelius84
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bescheidener Einwand: Der Thread ist in der Schulmathematik gepostet.
Ist dieser Aufwand, der Hochschulniveau erfordert, gerechtfertigt?
Falls doch, dann poste das bitte in der richtigen Abteilung!
Ich habe das Thema mal in die Geometrie verschoben.
---------

Die geometrische Lösungsweg ist klar.



@sibelius: h = 2R beim Zylinder, das leuchtet mir nicht ein. verwirrt
Die Höhe h_Zyl des Zylinders ist m.E. aus dem rechtwinkeligen Dreieck R/2, h und R zu ermitteln.
Das ist dort, wo die zylindrische Bohrung die Kugel schneidet.

Nun ist noch das Volumen des Kugelsegmentes zu bestimmen [ ]
Dessen Radius r = R/2, und dessen Höhe ist R - h_Zyl

Letztendlich ist V = V_HK - V_Z - V_Ksegm [ = ]

EDIT:

Man kann natürlich den Schwerpunkt des Rest-Flächenstückes und damit das Volumen bei Rotation um die Zylinderachse nach der Guldinschen Regel bestimmen.

[attach]45764[/attach]

mY+
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittvolumen von Kugel und Zylinder
Zitat:
="Lectram92"]Eine Halbkugel vom Radius R werde von einem Zylinder vom Radius R/2 so durchdrungen, dass der Kugelmittelpunkt auf dem Rand der unteren Grundfläche des Zylinders liegt. Man berechne das beiden Körpern gemeinsame Volumen.


Sag mal, müsste man diesen Text nicht so verstehen, dass der grün gezeichnete Zylinder die geforderte Lage hat?
[attach]46299[/attach]

Ergänzung dank HAL9000: Damit errechnet sich das Volumen zu R³ * (pi/3-4/9) = 0,602753 * R³
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich auch so - das hatten wohl alle hier übersehen. Es ergibt sich die obere Hälfte von dem Körper. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Teufel aber auch!

mY+
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »