n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

23.11.2017, 09:14

ForeRunner

n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Meine Frage:
Wir nennen $\begin{eqnarray*} \omega \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine n-te Einheitswurzel wenn $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ .
Wir wollen zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ genau n-viele n-te Einheitswurzeln gibt.

(i) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt das Polynom $\begin{eqnarray*} z^n -1 \end{eqnarray*}$ in n Linearfaktoren

$\begin{eqnarray*} z^n-1 = (z-a1)... (z-an) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-te Einheitswurzel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = ai \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hallo ihr guten Leute,

ich habe mal wieder eine Aufgabe die mir ziemlich unklar ist.
sie besteht noch aus 3 weiteren Teilaufgaben, aber die sollten mir auch klarer sein wenn ich die erste erst mal verstanden habe.

Die grundlegende Frage die ich stellen möchte ist, was genau hier gesucht ist.
Und zwar bin ich mir vor allem unsicher was mit $\begin{eqnarray*} \omega = ai \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Vielleicht kann mir das ja jemand kurz erleutern, dann kann ich mir nochmal einen richtigen Ansatz überlegen und mich nochmal melden.

Liebe Grüße und danke, dasss ihr euch die Zeit nehmt.

23.11.2017, 09:33

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Zitat:

Original von ForeRunner
(i) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt das Polynom $\begin{eqnarray*} z^n -1 \end{eqnarray*}$ in n Linearfaktoren

$\begin{eqnarray*} z^n-1 = (z-a1)... (z-an) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-te Einheitswurzel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = ai \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir mal das Latex verbessern, haben wir:

$\begin{eqnarray*} z^n-1 = (z-a_1) \cdot ... \cdot (z-a_n) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-te Einheitswurzel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ ist?

23.11.2017, 09:52

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Ah habe mich gefragt wie man das mit Latex macht. Danke. smile

Also wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ sein oder?
Sonst wäre es ja keine n-te Einheitswurzel.

warum sind denn die a numeriert? Sind die denn unterschiedlich voneinander?

Ansonsten würde ich sagen, dass das was ich zeigen muss ist, wenn $\begin{eqnarray*} (z-a_1)(z-a_2)(z-a_3) = z^3 -1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \omega = a_1, \omega = a_2, \omega = a_3 \end{eqnarray*}$ (also egal welches von denen),
dann muss $\begin{eqnarray*} \omega^3 = 1 \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ als Beispiel.

Stimmt das denn?

23.11.2017, 09:57

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Zitat:

Original von ForeRunner
Also wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ sein oder?
Sonst wäre es ja keine n-te Einheitswurzel.

Genau das ist zu zeigen.

Zitat:

Original von ForeRunner
Ansonsten würde ich sagen, dass das was ich zeigen muss ist, wenn $\begin{eqnarray*} (z-a_1)(z-a_2)(z-a_3) = z^3 -1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \omega = a_1, \omega = a_2, \omega = a_3 \end{eqnarray*}$ (also egal welches von denen),
dann muss $\begin{eqnarray*} \omega^3 = 1 \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ als Beispiel.

Stimmt das denn?

Im Prinzip ja, aber - wie gesagt - das letzte i-Tüpfelchen der Begründung fehlt noch.

Zitat:

Original von ForeRunner
warum sind denn die a numeriert? Sind die denn unterschiedlich voneinander?

Die können auch (sogar alle) gleich sein. Die Nummerierung verdeutlicht nur, daß man n Linearfaktoren hat. smile

23.11.2017, 10:21

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Ah ich bin sogar schon nah an einer Lösung? Big Laugh

Also in der dritten Teilaufgabe, muss ich zeigen, dass alle $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ verschieden sein müssen, also es genau n-viele n-te Einheitswurzeln gibt.

Aber wenn die alle verschieden sind, dann habe ich überhaupt keine Idee, warum wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ gelten sollte. verwirrt

Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben mit was ich mich befassen könnte um dahinter zu kommen?
Ich will da schon selbst drauf kommen, also ich will es verstehen, aber jetzt tappe ich komplett im dunkeln.

23.11.2017, 10:31

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Nun ja, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ ist, dann setzen wir das mal in $\begin{eqnarray*} z^n-1 = (z-a_1) \cdot ... \cdot (z-a_n) \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} \omega^n - 1 = (\omega-a_1) \cdot ... \cdot (\omega - a_i) \cdot ... \cdot (\omega-a_n) = (\omega-a_1) \cdot ... \cdot 0 \cdot ... \cdot (\omega-a_n) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du nur daraus folgern, daß $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Denke auch daran, daß du von:

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-te Einheitswurzel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$ .

zwei Richtungen zeigen mußt. smile

23.11.2017, 11:26

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Ah super, das war eine riesige Hilfe. Ich wäre glaube ich nie darauf gekommen einfach $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ für z einzusetzen.

Das hier ist jetzt meine Lösung:

Wie wollen zeigen $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \Leftrightarrow \omega^n=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$

zuerst zeigen wir die Hinrichtung $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \Rightarrow \omega^n=1 \end{eqnarray*}$ .
Wir setzen in unsere Gleichung für $\begin{eqnarray*} z = \omega \end{eqnarray*}$ ein. Nun steht:

$\begin{eqnarray*} \omega^n-1 = (\omega - a_1)*...* (\omega - a_i)*...* (\omega - a_n) \end{eqnarray*}$
wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ dann
$\begin{eqnarray*} \omega^n-1 = (\omega - a_1)*...* (\omega - \omega)*...* (\omega - a_n) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} \omega^n-1 = (\omega - a_1)*...* 0*...* (\omega - a_n)= 0 \end{eqnarray*}$
Formen wir nun $\begin{eqnarray*} \omega^n-1 = 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ um und wir haben die Hinrichtung gezeigt.

Nun zeigen wir die Rückrichtung $\begin{eqnarray*} \omega^n=1 \Rightarrow \omega = a_i \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \omega^n -1 = 0 \end{eqnarray*}$ .
Setzen wir das nun in unsere gleichung ein, dann erhalten wir,
$\begin{eqnarray*} \omega^n-1 = (\omega - a_1)*...* (\omega - a_i)*...* (\omega - a_n) = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus können wir jetzt schon folgern, dass ein $\begin{eqnarray*} (\omega - a_i) \end{eqnarray*}$ gleich 0 sein muss, da das Produkt
von Werten die alle ungleich 0 sind, nie 0 sein kann.
Daraus folgt, dass wenn $\begin{eqnarray*} \omega - a_i = 0 \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ sein.
Somit folgt aus $\begin{eqnarray*} \omega^n = 1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \end{eqnarray*}$ .

Nun sind beide Richtungen gezeigt und die Ursprüngliche Aussage $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \Leftrightarrow \omega^n=1 \end{eqnarray*}$ ist gezeigt.

Ich hoffe dadurch sind die anderen Teilaufgaben klarer, aber ich melde mich hier falls ich doch nicht weiter komme smile

Danke aber auf jeden fall schon für deine Hilfe smile

23.11.2017, 12:00

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Zitat:

Original von ForeRunner
Wie wollen zeigen $\begin{eqnarray*} \omega = a_i \Leftrightarrow \omega^n=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$

Formal etwas exakter lautet die Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \bigvee{i, 1 \leq i \leq n}: \omega = a_i \Leftrightarrow \omega^n=1 \end{eqnarray*}$

Ansonsten paßt das. smile

23.11.2017, 13:32

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Also das ging jetzt doch recht schnell bis ich auf Probleme gestoßen bin.
Ich versuche jetzt schon seit einer ganzen Weile mir klar zu machen was diese Aufgabe verlangt.
Und zwar geht es um die zweite Teilaufgabe der vorhin bearbeiteten.

Hier soll ich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} (z^n-1) : (z- \omega) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} z^i \omega^{(n-1)-i} \end{eqnarray*}$

für eine n-te Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$

Als Hinweis wurde noch gegeben, dass ich es mal per direktem Beweis probieren solle mithilfe der
Polynomdivison.

Ich habe mal ausprobiert was für $\begin{eqnarray*} n = 3, \omega = 1 \end{eqnarray*}$ raus kommen würde.
und zwar kommt das gleiche raus als wenn ich die Polynomdivison auf $\begin{eqnarray*} z^3-1 \end{eqnarray*}$ anwenden würde.
Sprich $\begin{eqnarray*} (z^3-1) / (z-1)= z^2 +z+1 \end{eqnarray*}$

Aber, naja, so richtig verstanden was ich tun soll, habe ich nicht.
Kannst du mir da vielleicht weiter helfen?

23.11.2017, 13:51

klarsoweit

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Hm. Der Hinweis mit der Polynomdivision ist mir nicht so klar. Allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} (a^n - b^n) = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ (kann man leicht mit vollständiger Induktion beweisen; für n=2 erhält man die bekannte binomische Formel)

Setze a=z und $\begin{eqnarray*} b=\omega \end{eqnarray*}$ ein. Augenzwinkern

23.11.2017, 14:02

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Also das habe ich verstanden, aber das ist doch eine ganz andere Gleichung als die in der Aufgabe oder?

Ich soll ja zeigen das etwas gleich $\begin{eqnarray*} (z-\omega) \end{eqnarray*}$ ist und das nicht in die Summe multiplizieren oder?
Ich fürchte das hat mich noch mehr verwirrt.
Als alternative zu dem direkten Beweis, gibt es auch einen Vorschlag das per Induktion zu zeigen.
Dafür haben wir das hier bekommen:

$\begin{eqnarray*} (z^m \omega^{n-m} -1) : (z- \omega) = \sum\limits_{i=0}^{m-1} z^i \omega^{(n-1)-i} \end{eqnarray*}$

Leider kann ich damit auch nicht viel anfangen.

23.11.2017, 14:09

klarsoweit

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Zitat:

Original von ForeRunner
Ich soll ja zeigen das etwas gleich $\begin{eqnarray*} (z-\omega) \end{eqnarray*}$ ist

Wo steht das?

Zitat:

Original von ForeRunner
und das nicht in die Summe multiplizieren oder?

Habe ich das getan? Ich habe nur eine allgemein gültige Formel zitiert, die du für deine Belange verwenden kannst. Obendrein habe ich dir auch gesagt, wie du das tun kannst.

Was sagt der Schwabe typischerweise? Nicht schwätzen, machen. Augenzwinkern

23.11.2017, 14:19

Elvis

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra

Zitat:

Original von klarsoweit
Nicht schwätzen, machen.

Net schwätze, schaffe ! Big Laugh

28.11.2017, 11:40

ForeRunner

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RE: n-te Einheitswurzel nach Fundamentalsatz der Algebra
Ah super, hatte leider erst jetzt wieder Zeit mich damit auseinander zusetzen, aber jetzt
finde ich das ganze sehr einleuchtend. Besonders die allgemein gültige Formel hat geholfen.

Vielen vielen dank noch einmal, besonders an dich klarsoweit Augenzwinkern

Hätte das alleine glaube ich nie geschafft, aber naja ich lerne ja noch fleißig smile

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