Häufungspunkte der Folge

23.11.2017, 13:39

Kathreena

Häufungspunkte der Folge

1.) $\begin{eqnarray*} d_n = n - (-1)^n \cdot \frac{n^2}{n+1} \end{eqnarray*}$
Häufungspunkte ?

_________________________________
Meine Idee:

Es ist leicht herauszulesen, das wenn n = ungerade, die Folge gegen unendlich geht, also keinen Grenzwert hat. Für n = 2n-1 kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} d_{n1}= 2n-1 + \frac{(2n-1)^2}{2n} \end{eqnarray*}$
Und das geht gegen unendlich.

So, bei n = gerade (2n), habe ich probleme, weil ich den Grenzwert (1) nicht rauslesen kann:

$\begin{eqnarray*} d_{n2}= 2n - \frac{4n^2}{2n+1} = 2n - \frac{4}{2\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} d_{n2}= 2n - \frac{4n^2}{2n+1} = 2n - \frac{4n}{2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

23.11.2017, 14:03

mYthos

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Bringe die beiden Terme zuerst auf gemeinsamen Nenner und fasse sie zu einem Bruch zusammen!
Hilft das bereits?

mY+

23.11.2017, 18:15

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} d_{n2}= 2n - \frac{4n^2}{2n+1} =\frac{4n^2 +2n - 4n^2 }{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2+\frac{1}{n}} = 1 \end{eqnarray*}$

Ok dann hab ich den Grenzwert.

Frage sind nun die Häufungspunkte $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, \infty\right\} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} inf = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup = \infty \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2017, 18:59

mYthos

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Häufungspunkte (HP) sind analog wie Grenzwertpunkte (GW) definiert.
Der Unterschied ist, dass in einer sehr kleinen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung des HP unendlich viele Folgenglieder liegen und es möglich ist, dass es außerhalb nochmals unendlich viele Folgenglieder gibt.
Beim GW liegen "fast alle" in dieser Umgebung, außerhalb nur endlich viele.

Daraus folgt:
Gibt es nur einen HP, so ist dieser gleichzeitig Grenzwert. Umgekehrt ist jeder Grenzwert auch ein HP.

Beispiel:
Die alternierende Folge $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist divergent, denn sie hat die zwei Häufungspunkte {-1; +1}
Die Folge $\begin{eqnarray*} (-\frac 1 2)^n \end{eqnarray*}$ alterniert zwar auch, hat aber dennoch nur den einzigen Häufungspunkt {0}, dieser ist auch Grenzwert.
------------
Betrachte nun unter diesem Blickwinkel nochmals deine Folge. Was kannst du dazu sagen?

mY+

24.11.2017, 16:00

Kathreena

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Ok ja, wir hatten aufgeschrieben das $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ "uneigentliche" HP sind, das hat mich etwas verwirrt.

Dann hab ich also nur einen HP{1}

Nun is noch die frage ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} inf = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß das Limes superior bzw. Limes inferior den größten bzw. den kleinsten Häufungspunkt darstellen.

Nur was wenn ich nur einen Häufungspunkt habe verwirrt

24.11.2017, 16:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
Ok ja, wir hatten aufgeschrieben das $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ "uneigentliche" HP sind, das hat mich etwas verwirrt.

Genau genommen ist es so:

1) Betrachtet man die reellen Zahlen $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ als Grundmenge, verbunden mit der Euklidischen Metrik, dann gehören $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ nicht zur Grundmenge und können daher auch keine HP sein. Es gibt dann ja auch keine Folgen, die dagegen "konvergieren", man spricht da ja nicht ohne Grund von "bestimmter Divergenz".

2) Anders sieht es aus im Grundraum der erweiterten reellen Zahlen $\begin{align*} \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\} \end{align*}$ , verbunden dann mit einer anderen Metrik: Die oben noch "bestimmt divergent" genannten Folgen werden in diesem Raum zu normalen konvergenten Folgen gegen die Werte (!) $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder aber $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ . Und diese beiden Werte (die ja da auch im Grundraum liegen) sind damit dann auch mögliche HP.

Solange aber nichts ausdrücklich anderes gesagt wird, ist von Situation 1) auszugehen. Wenn man also da $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ als HP mit angeben will, dann unbedingt mit dem von dir schon erwähnten Attribut "uneigentlich", um sie deutlich von den "echten" HP abzugrenzen, denn wirkliche HP können sie in 1) nicht sein.

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