Folge, obere Schranke, Konvergenz

23.11.2017, 21:14	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge, obere Schranke, Konvergenz Guten Abend, da ich mich bis dato noch nicht ausreichend mit dem Thema Folgen beschäftigt habe, bräuchte ich zu folgender Aufgabe euren Rat. Die Folge a_n sei definiert durch: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2 \cdot n} \end{eqnarray}$ Zu zeigen sei nun: a) Für alle $\begin{eqnarray} n \epsilon \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_n<1 \end{eqnarray}$ . b) Die Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \epsilon \mathbb N} \end{eqnarray}$ ist konvergent.
23.11.2017, 22:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Darstellung von $\begin{align} a_n \end{align}$ enthält genau $\begin{align} n \end{align}$ Summanden. Wenn du jeden dieser $\begin{align} n \end{align}$ Summanden durch den größten Summanden abschätzt (das ist hier gleich der erste, also $\begin{align} \frac{1}{n+1} \end{align}$ ), dann kommst du zum Erfolg. b) Weise nach, dass $\begin{align} (a_n) \end{align}$ monoton wachsend ist. In Verbindung mit der in a) nachgewiesenen Beschränktheit bedeutet das bereits Konvergenz.

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