Gleichheit von Reihen (Eulersche Formel)

24.11.2017, 08:46

PhyMaLehrer

Gleichheit von Reihen (Eulersche Formel)

Ich habe jetzt mal wieder im Buch "Mathematische Hilfsmittel" der Reihe "Physik für Lehrer" gelesen, womit ich mich vor 39 Jahren geschockt

mal befassen durfte und was ich seither eigentlich nie wieder gebraucht habe...

Im Kapitel 1 geht es um komplexe Zahlen und die Gleichung

$\begin{eqnarray*} cos x + i sin x = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \left[ \frac{(ix)^{2k} }{(2k)!} + \frac{(ix)^{2k+1} }{(2k+1)!} \right] =\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(ix)^{k} }{k!} =e^{ix} \end{eqnarray*}$

Die Reihenentwicklung von Funktionen wird weiter hinten im Buch besprochen und ich nehme die entsprechenden Terme jetzt erst einmal hin.
Vielleicht blamiere ich mich ja jetzt unsterblich, weil ich auf meiner eigenen langen Leitung stehe, aber es ist mir nicht gelungen, die linke Summe in die rechte umzuformen...
Dann hatte ich mal einen lichten Moment und sah: Wenn rechts k=0 ist, erhalte ich links die Summanden für 0 und 1, für 1 rechts bekomme ich links die Summanden 2 und 3 usw. Ich kann mir also überlegen, daß die Glieder der Reihe links und rechts dieselben sind, aber kann ich auch die Summe links rein rechnerisch in die rechte umformen? verwirrt

Klar ist:

$\begin{eqnarray*} ix^{2k+1} =ix^{2k} \cdot ix \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2k+1)! = (2k)! \cdot (2k+1) \end{eqnarray*}$

Aber wie hilft mir das?
Ich bitte um etwas Nachsicht, denn das alles ist, wie gesagt, für mich schon lange her und "verschütt gegangen"...

24.11.2017, 08:57

HAL 9000

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Hier gibt es an sich nichts zu rechnen, sondern nur zu "gruppieren". Deswegen sollte man das vielleicht besser zunächst als

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{(ix)^{2k} }{(2k)!} + \frac{(ix)^{2k+1} }{(2k+1)!} \right] =\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(ix)^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

schreiben mit der zusätzlichen Erläuterung, dass jeder Index $\begin{align*} k \end{align*}$ in der linken Summe genau zwei Summanden der rechten Summe erfasst, nämlich die für $\begin{align*} n=2k \end{align*}$ sowie für $\begin{align*} n=2k+1 \end{align*}$ . D.h., es wird hier genau das praktiziert. Augenzwinkern

24.11.2017, 09:03

klarsoweit

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RE: Gleichheit von Reihen (Eulersche Formel)

Zitat:

Original von PhyMaLehrer
$\begin{eqnarray*} ix^{2k+1} =ix^{2k} \cdot ix \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2k+1)! = (2k)! \cdot (2k+1) \end{eqnarray*}$

Eher: $\begin{eqnarray*} (ix)^{2k+1} = (ix)^{2k} \cdot ix \end{eqnarray*}$

Bezüglich der Summen kann man diese auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(ix)^{2k} }{(2k)!} = \sum\limits_{k=0, \text{ k gerade}}^{\infty } \frac{(ix)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(ix)^{2k+1} }{(2k+1)!} = \sum\limits_{k=1, \text{ k ungerade}}^{\infty } \frac{(ix)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Bei der Addition der Summen durchläuft dann der Summenindex k alle natürlichen Zahlen incl. Null. Augenzwinkern

EDIT: zu spät. traurig

EDIT2: kleine Korrektur.

24.11.2017, 10:51

PhyMaLehrer

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Ja, ich hatte die Klammern um das "ix" vergessen.
Vielen Dank für die Antworten! Es war also richtig, daß ich gesehen habe, daß im Endeffekt links und rechts dieselben Summanden stehen und es gab nicht wirklich etwas zu rechnen. ("Wie man leicht sieht, ..." Augenzwinkern

) Das beruhigt mich schon ein bißchen. Ich dachte, ich hätte etwas übersehen.

Oh, ich sehe gerade, meine Frage da oben war mein zwei hoch zehnter Beitrag! smile

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