Differenzierbarkeit prüfen

24.11.2017, 12:19

MasterWizz

Differenzierbarkeit prüfen

Hey Leute,
ich hab eine etwas peinlich Frage, daher lasst uns das Problem bitte schnell und sachlich lösen.

Aufgabe: Überprüfe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x^2\cdot\cos\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq0\\ 0 & x=0\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ auf Differenzierbarkeit.

Meines Wissens nach ist die Funktion dort differenzierbar, denn
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^2\cdot\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\cdot\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich frage nur, weil eine Universitätsprofessorin behauptet: "Nein, die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar, weil für
$\begin{eqnarray*} x\neq0:\quad f'(x)=2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$
die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f'(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f'(x) \end{eqnarray*}$ nicht existieren." (Ihrer Meinung nach ist es notwendig und hinreichend für Differenzierbarkeit, wenn die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind.)

Was ist eure Meinung? Mache ich es seit Jahren falsch oder werden die Professoren an den Unis immer dümmer?

24.11.2017, 12:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit prüfen

Zitat:

Original von MasterWizz
die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f'(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f'(x) \end{eqnarray*}$ nicht existieren.

Die Existenz dieser Grenzwerte ist nicht erforderlich für die Differenzierbarkeit in x=0. Die Funktion ist also in x=0 differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.

Zitat:

Original von MasterWizz
oder werden die Professoren an den Unis immer dümmer?

Da erlaube ich mir kein Urteil. geschockt

24.11.2017, 12:36

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit prüfen
DANKE! Hab schon fast an mir selbst gezweifelt. Die sollten mich als Prof einstellen Lehrer

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit prüfen

Verwandte Themen