Häufungspunkte Teilmenge

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ard29999 Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte Teilmenge
Meine Frage:
Hallo,
ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe. Hoffentlich kann jemand helfen.

Geben Sie ohne Beweis die Menge aller Häufungspunkte folgender Teilmengen A des metrischen Raumes X an:
a) X := N mit der in R üblichen Metrik, A := {1,2,3,4},
b) X := R mit der üblichen Metrik, A := (0, 1),
c) X:=QmitderinRüblichenMetrik,A:={x?Q : 0<x<1},
d) X:=RmitderüblichenMetrik,A:=(0,1)\Q.


Meine Ideen:
Ich dachte das bei a 1,2,3,4 die Häufungspunkte wären und bei c) 0 und 1
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Deine Ideen sind leider beide falsch. Wie habt ihr Häufungspunkte definiert?
 
 
ard29998 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Punkt x &#8712; X heißt H aufungspunkt von A, falls es in jeder Umgebung von x einen von x verschiedenen Punkt aus A gibt,
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Randbemerkung:
Das ist aber eine strenge Definition... sowas heißt m.E. normalerweise "Verdichtungspunkt".
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84

Klingt für mich wie die übliche Definition. Und laut Wikipedia sind Häufungspunkt und Verdichtungspunkt synonym.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte vor dem Absenden die Vorschau-Funktion benutzen; bei Copy&Paste kommt oft sowas raus in deinem Beitrag.

OK, nehmen wir . Du behauptest, 4 wäre ein Häufungspunkt von .
ist eine Umgebung von 4. Welches Element von (außer 4) liegt deiner Meinung nach noch in diesem Intervall?

@sibelius84: Was wäre denn deine Definition von Häufungspunkt? verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne das in metrischen Räumen so:

Sei heißt

- Häufungspunkt von M, wenn eine Folge existiert mit

- Verdichtungspunkt von M, wenn eine Folge existiert mit

Insbesondere gilt dann

,

was für mich irgendwie vernünftigerweise gelten sollte - bin gerade verwundert, dass anscheinend für mehrere die Vokabelbedeutungen hier leicht anders liegen Augenzwinkern
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was du als Häufungspunkt bezeichnest, kenne ich als Berührungspunkt von . Der Abschluss einer Menge ist dann die Menge ihrer Berührungspunkte.
Hast du eine Quelle, in der man deine Definitionen findet? (Ich habe in einigen Büchern nachgeschaut und nur die Definition von ard29999 gefunden.)

Von Verdichtungspunkten habe ich übrigens noch nie etwas gehört.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich, ich habe auch überall nur "eure" Definition gefunden. Da lag ich wohl falsch! Und ich war so sicher... vermutlich hat das irgendein Prof mal irgendwann so exotisch definiert und es ist so hängengeblieben.

Interessant ist die (mangelnde) Analogie zu Häufungswerten von Teilfolgen. Wenn wir (-1)^n betrachten, so sind +/-1 sicher Häufungspunkte der Folge (weil es eine dagegen konvergente Teilfolge gibt - denn bei Folgen: Häufungswerte = Grenzwerte konvergenter Teilfolgen, oder?), aber nicht der Menge der Folgenglieder. Nach der nunmehr als üblich erkannten Definition (also synonym mit Verdichtungspunkt) kann der umgekehrte Fall nicht auftreten - aus einer Menge mit einem Häufungspunkt kann man immer eine dagegen konvergente Teilfolge basteln, selbst wenn man jedes Element nur einmal verwenden darf.
ard29998 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist bei a die Lösung die leere Menge ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt gut smile
ard29998 Auf diesen Beitrag antworten »

und bei den anderen ? Ich komme einfach nicht weiter
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b) hast du ein Intervall. In der Nähe welcher Punkte findest du unendlich viele Punkte aus ?
ard29998 Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde bei b sagen das geschlossene Intervall von 0 bis 1 [0,1]
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Na siehst du, ist ja doch nicht so schwer. Augenzwinkern

Hast du jetzt auch eine Idee für die letzten beiden?
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