Dichtefunktion herausfinden (stetige Verteilung)

24.11.2017, 19:19

Mathematiker123

Dichtefunktion herausfinden (stetige Verteilung)

Meine Frage:
Gegeben sei die Funktion
F(x) =
{
0 falls x < 0,
x²falls 0 ? x < 1,
1 falls x ? 1.

(a) Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist; d.h. prufen Sie nach, dass F jene Eigenschaften besitzt, die fur Verteilungsfunktionen charakteristisch sind. ¨
(b) Bestimmen Sie durch (stuckweises) Differenzieren die Dichte zu F.

Was mir unklar ist:
Bei a würde ich gerne wissen was unter rechtsseitig stetig gemeint ist.

Bei b.. Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion. Wenn ich x² ableite, kommt mir jedoch 2x raus. Wie kann das dann die Dichtefunktion sein, bzw. wie wird sie aufgezeichnet und wie erfahre ich die Werte für bestimmte Intervalle? Oder habe ich einen Denkfehler?

Meine Ideen:
Zu a)

Wenn ich die Verteilungsfunktion aufzeichne, dann treffen folgende Merkmale zu:
1. F ist monoton steigend. -> siehe F(x), da der Wert Richtung unendlich auf 1 steigt.
2. F ist rechtsseitig stetig.. - ist mir unklar
3. lim F(x) = 0 , wenn x -> -unendlich .. trifft zu
lim F(x) = 1 , wenn x -> unendlich .. trifft zu

25.11.2017, 08:57

HAL 9000

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Ok, beim ersten Beitrag tolerieren wir das mit den ? mal noch - das nächste Mal benutze bitte den "Vorschau"-Button um zu kontrollieren, ob auch alles richtig dargestellt ist...

Vermutlich meinst du

$\begin{align*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{falls}\; x<0,<br /> x^2 & \;\mbox{falls}\; 0\leq x < 1,<br /> 1 & \;\mbox{falls}\; x \geq 1 .\end{cases} \end{align*}$

Was "rechtseitig stetig" ist, könnte man ja auch mal nachschauen. Na egal, jedenfalls bedeutet es, dass $\begin{align*} \lim_{x\searrow x_0} F(x) = F(x_0) \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ gelten muss (das beinhaltet natürlich überhaupt erstmal die Existenz dieser rechtsseitigen Grenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\searrow x_0} F(x) \end{align*}$ ). Das ist eine schwächere Forderung als Stetigkeit, d.h., stetige Funktionen sind auf jeden Fall auch rechtsstetig, die Umkehrung gilt aber nicht.

Zitat:

Original von Mathematiker123
Bei b.. Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Das stimmt nicht ganz: Sie ist fast überall gleich dieser Ableitung. Das ist wichtig insbesondere dann, wenn es einzelne Stellen der Nichtdifferenzierbarkeit gibt - wie im vorliegenden Fall die Stelle $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ .

Tatsächlich ist es nämlich eine andere Eigenschaft, die die Dichte $\begin{align*} f \end{align*}$ kennzeichnet: Es ist eine Funktion, die für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ die Eigenschaft $\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$ erfüllt. Das bedeutet u.a., dass man eine Dichte an endlich vielen Stellen verändern kann, und es bleibt trotzdem eine Dichte zu derselben Verteilungsfunktion $\begin{align*} F \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Mathematiker123
Wenn ich x² ableite, kommt mir jedoch 2x raus.

Das betrifft nur das mittlere Intervall $\begin{align*} 0<x<1 \end{align*}$ . Für die anderen reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ - d.h. sowohl $\begin{align*} x\leq 0 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} x\geq 1 \end{align*}$ - musst du die Dichte auch bestimmen! Schließlich ist auch die Verteilungsfunktion $\begin{align*} F \end{align*}$ für diese anderen $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werte gegeben, vergiss das nicht!

25.11.2017, 09:14

Leopold

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RE: Dichtefunktion herausfinden (stetige Verteilung)
Ich hätte hier noch etwas anzumerken:

Zitat:

Original von Mathematiker123
1. F ist monoton steigend. -> siehe F(x), da der Wert Richtung unendlich auf 1 steigt.

Die Begründung mag richtig gemeint sind, die Formulierung ist aber unscharf. Das wäre noch klarzustellen.

25.11.2017, 09:16

Dopap

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man muss bei F(x) auch an die Verteilung- und Wahrscheinlichkeitsfunktionen bei diskreten Zufallsvariablen wie z.B. Augensumme beim Würfeln denken.
Die Wkt-funktion ist nicht stetigund macht Sprünge. Jetzt ist die Frage welcher Wert gilt an der Sprungstelle?
Es ist der rechtsseitige Wert. Demnach ist die Treppenfunktion rechtsseitig stetig. Man malt rechts einen fetten Punkt und unten oder auch oben einen Kringel.
Das alles entsteht durch die Definition von $\begin{eqnarray*} F(x):=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$

Deine Verteilungsfunktion ist stetig aber nicht ( überall ) differenzierbar. D.h. die Dichte macht bei x=1 einen Sprung von y=2 nach y=0.

Edit: etwas zu spät.

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