Dichtefunktion

25.11.2017, 21:13	Cherrienne	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion Meine Frage: Beweisen Sie, das f(x) eine Dichtefunktion ist. $\begin{eqnarray} f(x)= \left\{ \begin{matrix} <br /> \frac{x^{2}}{2} & \text{ falls } 0 \leq x < 1\\ <br /> -x^{2}+3x-\frac{3}{2}& \text{ falls } 1 \leq x < 2\\ <br /> \frac{(3-x)^{2}}{2} & \text{ falls } 2 \leq x < 3\\<br /> 0 & \text{ sonst. }<br /> \end{matrix} \right. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Es muss gelten: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty} \! f(x) \, \mathrm{d}x = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) \geq 0 \text{ für alle }x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Intervallzerlegung: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{0} \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} \! \frac{x^{2}}{2} \, \mathrm{d}x + \int_{1}^{2} \! -x^{2}+3x-\frac{3}{2} \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{3} \! (3-x)^{2} \, \mathrm{d}x + \int_{3}^{+\infty} \! f(x) \, \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 + \frac{1}{6}+ \frac{2}{3}+ \frac{1}{3}+0 \end{eqnarray}$ aber leider ergibt das nicht 1, und ich sollte ja eigentlich zeigen, dass die Funktion eine Dichtefunktion ist. Ich finde meinen Denkfehler nicht, oder kann man geringe Abweichungen hier außer Acht lassen?
25.11.2017, 21:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist weniger ein Denk- denn ein Konzentrationsfehler: Die Dichte im Intervall $\begin{align} 2\leq x\leq 3 \end{align}$ ist nicht $\begin{align} (3-x)^2 \end{align}$ sondern $\begin{align} \frac{(3-x)^2}{2} \end{align}$ .

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