Isomorphismus von Ringen

25.11.2017, 23:15

mojili

Isomorphismus von Ringen

Meine Frage:
f ist ist Isomorphismus von Ringen:

f : Z/ m*n Z --> Z/mZ kreuz Z/nZ , k --> (k, k)

Zudem ist folgende Voraussetzung gegeben:
Es seien m, n Element der natürlichen Zahlen,
sodass a, b Element der ganzen Zahlen mit 1 = a*m + b*n existieren.

Was bedeutet 1 = a*m + b*n konkret?
Was soll das aussagen?

Meine Ideen:
Ich soll nachweisen, dass es ein Isomorphismus ist,
aber ich hab keine Ahnung, wo ich diese Voraussetzung verwenden soll.
Injektivität ist einfach nachzuweisen, da im Kern nur das neutrale Element 0 ist.
Aber bei Surjektivität weiß ich nicht weiter:

Für alle y Element (Z/mZ kreuz Z/nZ) in der Form (y1, y2) existiert ein
c Element (Z/ m*n Z), sodass gilt:
f(c) = y = (y1, y2)

Da c ja auf (c,c) abgebildet wird, müsste ja y1 = y2 sein,
dann wäre das ganze ja aber nicht mehr surjektiv, denn
es gibt ja auch viele (y1, y2) Element Z/mZ kreuz Z/nZ,
bei denen y1 nicht gleich y2 ist.
Aber anscheinend muss es ja doch surjektiv sein.
Ich nehme an, das hat irgendwas mit der Voraussetzung 1 = a*m + b*n zu tun.
Aber an der Stelle weiß ich nicht weiter.

Vielen Dank für Hilfe! smile

25.11.2017, 23:48

Leopold

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RE: Isomorphismus von Ringen

Zitat:

Original von mojili
Was bedeutet 1 = a*m + b*n konkret?
Was soll das aussagen?

Dies bedeutet, daß $\begin{align*} m,n \end{align*}$ teilerfremd sind, also $\begin{align*} 1 \end{align*}$ als einzigen gemeinsamen Teiler besitzen.

25.11.2017, 23:57

mojili

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RE: Isomorphismus von Ringen
Danke!
Inwiefern hilft mir das für die Aufgabe?
Was kann man daraus schließen (insbesondere für die Surjektivität) ?

26.11.2017, 11:21

Leopold

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Ist die Injektivität wirklich so trivial? Ich finde, da geht die Teilerfremdheit von $\begin{align*} m \end{align*}$ und $\begin{align*} n \end{align*}$ entscheidend ein.

Vielleicht sollte man erst vorteilhafte Bezeichnungen einführen. Der Bequemlichkeit halber schreibe ich $\begin{align*} \mathbb{Z}_d = \mathbb{Z} / d \mathbb{Z} \end{align*}$ und die von einem $\begin{align*} k \in \mathbb{Z} \end{align*}$ erzeugte Restklasse bezeichne ich mit $\begin{align*} k_d \end{align*}$ . Hast du dir überlegt, warum die Abbildung $\begin{align*} k_{mn} \mapsto \left( k_m , k_n \right) \end{align*}$ wohldefiniert ist?

Jetzt zur Injektivität. Dazu bestimmen wir den Kern der Abbildung. Wir nehmen $\begin{align*} k_{mn} \in \mathbb{Z}_{mn} \end{align*}$ mit $\begin{align*} f \left( k_{mn} \right) = \left( k_m,k_n \right) = \left( 0_m,0_n \right) \end{align*}$ . Ein Vergleich der Koordinaten zeigt: $\begin{align*} k_m = 0_m \end{align*}$ und $\begin{align*} k_n = 0_n \end{align*}$ . Als Bedingung in $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ formuliert:

$\begin{align*} k \equiv 0 \pmod{m} \quad \wedge \quad k \equiv 0 \pmod{n} \end{align*}$

oder äquivalent:

$\begin{align*} m | k \ \wedge \ n | k \end{align*}$

Was folgt daraus?

Zur Surjektivität ein Beispiel. Ich nehme $\begin{align*} m=14 \end{align*}$ und $\begin{align*} n=15 \end{align*}$ , also

$\begin{align*} f: \, \mathbb{Z}_{210} \to \mathbb{Z}_{14} \times \mathbb{Z}_{15} \end{align*}$

Als Element der Zielmenge wähle ich mir $\begin{align*} \left( 3_{14} \, , \, 8_{15} \right) \end{align*}$ aus. Und jetzt muß ich ein $\begin{align*} k_{210} \in \mathbb{Z}_{210} \end{align*}$ suchen, das durch $\begin{align*} f \end{align*}$ genau auf dieses Paar abgebildet wird. Wenn man das wieder auf die ganzen Zahlen zurückspielt, ist ein $\begin{align*} k \in \mathbb{Z} \end{align*}$ zu bestimmen mit

$\begin{align*} k \equiv 3 \pmod{14} \quad \wedge \quad k \equiv 8 \pmod{15} \end{align*}$

Ich finde $\begin{align*} 143_{210} \end{align*}$ . Überlege dir, warum das damit funktioniert und welche allgemeine Regel dahintersteckt. Tip: Bestimme zunächst $\begin{align*} a,b \in \mathbb{Z} \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} 1 = am + bn \end{align*}$ gilt. Das ist hier sehr einfach. $\begin{align*} k \end{align*}$ läßt sich dann aus $\begin{align*} a,b,m,n,3,8 \end{align*}$ berechnen. Letztlich geht es hier um simultane Kongruenzen.

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