Untersuchung von Reihen

26.11.2017, 03:57

Snexx_Math

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Untersuchung von Reihen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+2n+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{2+(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

auf Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert der Reihe :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}}{(2^{2})^{n}} \end{eqnarray*}$

Ich stehe vor dem Problem, dass ich keine Ahnung hab was ich jetzt machen muss. Ich vermute allerdings, dass die Konvergenzkriterien für Reihen helfen könnten, aber diese verstehe ich leider noch nicht so wirklich unglücklich

unglücklich

Zusatz:

Habe nur einen kleinen Gedanken zur Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+2n+2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+2n+2} \leq | \frac{1}{n^{2}+2n+2}| \leq \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ nach unserer Vorlesung konvergiert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nach Majorantenkriterium , dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+2n+2} \end{eqnarray*}$ auch konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ Majorante zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+2n+2} \end{eqnarray*}$ ist.

Und für die zweite Reihe würde ich jetzt versuchen die Konvergenz mit dem Leibniz-Kriterium zu zeigen, da $\begin{eqnarray*} \frac{2+(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

LG und danke für jede Hilfe

Snexx_Math

26.11.2017, 07:42

HAL 9000

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Bei Reihe 1 liegst du richtig. Nun zu Reihe 2:

Zitat:

Original von Snexx_Math
da $\begin{eqnarray*} \frac{2+(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Ist sie das wirklich? Erstaunt1

Erstaunt1

26.11.2017, 13:09

Snexx_Math

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ah nein ist sie natürlich nicht Big Laugh

Big Laugh

war wohl gestern ein bisschen spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der erste Wert ist ja 1 und der zweite 1,5

Kann ich denn dann über die Begründung, dass die 2 Teilfolgen mit allen geraden n's und allen ungeraden n's jeweils eine monoton fallende Nullfolge sind , etwas anfangen ?

und wie berechnet man den konkreten Reihenwert der letzten Reihe ?

LG

Snexx_Math

26.11.2017, 13:25

Leopold

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$\begin{align*} a_n = 2 \cdot \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \, , \ \ b_n = 2 \cdot \frac{(-1)^n}{n} \end{align*}$

Konvergieren $\begin{align*} \sum a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum b_n \end{align*}$ , dann konvergiert auch $\begin{align*} \sum \left( a_n - b_n \right) \end{align*}$

26.11.2017, 14:30

Snexx_Math

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Ist das nicht falsch ? Weil $\begin{eqnarray*} a_n -b_n \end{eqnarray*}$ wäre doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und das divergiert weil es die harmonische Reihe ist .

LG

26.11.2017, 14:38

HAL 9000

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Du musst den Satz von Leopold genauer lesen: Der erste Teilsatz "Konvergieren $\begin{align*} \sum a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum b_n \end{align*}$ ," kennzeichnet eine Bedingung!!!

Anders formuliert könnte man den auch schreiben: "Falls (!) $\begin{align*} \sum a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum b_n \end{align*}$ konvergieren," .

Leopold hat also eine Implikation formuliert, und die ist gewiss nicht falsch. Was du zur Divergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_n \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gesagt hast, ist allerdings auch richtig - nun musst du daraus noch die richtigen Schlussfolgerungen ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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26.11.2017, 14:52

Snexx_Math

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$\begin{eqnarray*} a_n = 2\cdot \frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ Ist ja meine zu untersuchende Reihe bzw. die Folge welche aufaddiert wird. Nun ist es so, dass nach der Implikation von Leopold aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt, also ist die Aussage insgesamt falsch. Daher ist meine zu unteruschende Reihe nicht konvergent.

Richtig ?

26.11.2017, 14:58

HAL 9000

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So in etwa, aber du darfst auf diese Weise nur dann von der Divergenz von $\begin{align*} \sum_n (a_n-b_n) \end{align*}$ auf die Divergenz von $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ schließen, falls $\begin{align*} \sum_n b_n \end{align*}$ konvergiert. Letzteres sollte also noch begründet werden, sonst klafft eine Lücke.

26.11.2017, 15:05

Snexx_Math

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So in etwa, aber du darfst auf diese Weise nur dann von der Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty }(a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ auf die Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty }(a_n) \end{eqnarray*}$ schließen, falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty }(b_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wäre das nicht das Vergleichskriterium ? Das habe ich iwie garnicht verstanden. Ich weiß ehrlich gesagt gerade garnicht weiter.

Mir fällt auch gerade auf, dass $\begin{eqnarray*} a_n = 2\cdot \frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nicht meine zu untersuchende Reihe ist. Passt das dann alles überhaupt noch ?

26.11.2017, 15:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Mir fällt auch gerade auf, dass $\begin{eqnarray*} a_n = 2\cdot \frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nicht meine zu untersuchende Reihe ist.

Doch, es ist das Reihenglied deiner zu untersuchenden Reihe.

26.11.2017, 15:27

Snexx_Math

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also ausmultipliziert stände dann doch : $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1}{n} = \frac{(-1)^{n} + (-1)^{n}+1}{n} = \frac{2\cdot (-1)^{n}+1}{n} =(-1)^{n}\cdot \frac{2+(-1)^{n}}{n} <br /> \end{eqnarray*}$

Hab jetzt verstanden, dass man die 1 zu $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \cdot (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ auseinanderziehen kann.

Ok, das ist also verstanden. Aber dann versteh ich nicht was ich jetzt damit anfangen soll, dass die Implikation falsch ist.

Aber ich denke jetzt mal so:

Man kann jetzt auf die Divergenz von meiner zu untersuchenen Reihe schließen, wenn ich noch zeige, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert ? Denn eine Reihe die divergent ist , kann nicht konvergent sein.

Wäre das dann das Vergleichskriterium ??? Wenn ja könnten Sie mir das Vergleichskriterium bitte nochmal kurz erläutern ?

Danke

26.11.2017, 15:31

Leopold

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Wäre das nicht das Vergleichskriterium ?

Das hat damit nichts zu tun. Vielmehr geht es um die folgenden elementaren Regeln. Ich schreibe sie einmal für Folgen auf:

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( a_n + b_n \right) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( a_n - b_n \right) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n} \end{align*}$

So findet man die Regeln in vielen Formelsammlungen. Und leider werden diese Regeln oft mißverstanden. Ich habe auch mit Absicht einmal die Voraussetzungen weggelassen, aber nicht, weil sie unwichtig wären, sondern gerade weil sie so wichtig sind. Und darum trage ich das jetzt nach:

Man darf diese Regeln nicht wie Umformungsregeln der Algebra lesen. Vielmehr muß man sie "von rechts nach links" lesen. Es ist nämlich die Existenz der Grenzwerte auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vorauszusetzen (um es mal nicht zu kompliziert zu machen: im Sinne von eigentlicher Konvergenz). Wenn also die Grenzwerte rechts existieren, dann existiert auch der Grenzwert links, und es gilt die angegebene Gleichheit. Im Fall der Division muß man noch voraussetzen, daß $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} b_n \neq 0 \end{align*}$ ist, und darf sich nicht daran stören, daß möglicherweise für ein paar Anfangsglieder der Quotient links nicht definiert ist.

26.11.2017, 15:33

HAL 9000

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$\begin{align*} \sum_n b_n = \sum_n 2\cdot \frac{(-1)^n}{n} \end{align*}$ ist eine Leibniz-Reihe, damit ist deren Konvergenz geklärt.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Aber dann versteh ich nicht was ich jetzt damit anfangen soll, dass die Implikation falsch ist.

Oh, nein, was denn jetzt noch - ich dachte das wäre jetzt endlich geklärt (zumindest hatte es oben den Anschein, dass du es kapiert hast). Bring deine Logik in Ordnung, ich hab keine Lust, das nochmal auseinanderzunehmen. unglücklich

unglücklich

26.11.2017, 15:36

Snexx_Math

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Ok danke für den Einschub @Leopold

Nun zu der Aufgabe: Warum muss ich denn jetzt zeigen dass b_n konvergiert ?

Wir wissen jetzt ja, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ nicht eixstiert , diese Reihe ja divergiert. Es könnte ja auch sein, dass a_n konvergiert aber b_n divergiert. Oder liege ich da falsch ?

26.11.2017, 15:41

Leopold

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Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)

Annahme: $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{align*}$ konvergiert.

Da $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{align*}$ nach dem Leibnizkriterium konvergiert, würde nach einem allgemeinen Grenzwertsatz auch $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n - b_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align*}$ konvergieren. Die harmonische Reihe ist aber bekanntermaßen divergent.
Daher muß die Annahme falsch sein und das Gegenteil richtig.
Also divergiert $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{align*}$ .

26.11.2017, 15:48

Snexx_Math

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \sum_n b_n = \sum_n 2\cdot \frac{(-1)^n}{n} \end{align*}$ ist eine Leibniz-Reihe, damit ist deren Konvergenz geklärt.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Aber dann versteh ich nicht was ich jetzt damit anfangen soll, dass die Implikation falsch ist.

Oh, nein, was denn jetzt noch - ich dachte das wäre jetzt endlich geklärt (zumindest hatte es oben den Anschein, dass du es kapiert hast). Bring deine Logik in Ordnung, ich hab keine Lust, das nochmal auseinanderzunehmen. unglücklich

unglücklich

Tut mir leid, habe es jetzt doch verstanden. Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ divergiert, muss $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergieren (gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Allerdings frage ich mich als aller Letztes noch: Warum konvergiert $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ? Denn $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \cdot \frac{(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und dies konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ eine monton fallende Nullfolge ist. Nullfolge ist dies , das ist klar, aber monoton fallend ist diese ja nicht .

26.11.2017, 15:49

Snexx_Math

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Zitat:

Original von Leopold
Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)

Annahme: $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{align*}$ konvergiert.

Da $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{align*}$ nach dem Leibnizkriterium konvergiert, würde nach einem allgemeinen Grenzwertsatz auch $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n - b_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align*}$ konvergieren. Die harmonische Reihe ist aber bekanntermaßen divergent.
Daher muß die Annahme falsch sein und das Gegenteil richtig.
Also divergiert $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{align*}$ .

Vielen Dank , das wäre dann ja die Kurzform und die Lösung,

Danke auch an @HAL 9000 für die ganze Hilfe.

Ich weiß, dass es anstrengend war, aber ich konnte es jetzt begreifen.

LG

Snexx_Math smile

smile

26.11.2017, 16:08

Leopold

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Tut mir leid, habe es jetzt doch verstanden. Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ divergiert, muss $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergieren (gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Diese Logik erschließt sich mir nicht. Warum "muß" $\begin{align*} a_n \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ konvergieren? Und warum "muß" $\begin{align*} b_n \end{align*}$ konvergieren? (Du meinst vermutlich die Reihen zu diesen Folgen.) Vermeide das Wort "müssen" in Beweisen. Das ist vom Deutschen her in jeder Hinsicht mißverständlich. Ich glaube, dir ist nicht klar, was hier vorausgesetzt und was behauptet wird. Wie man das richtig macht, habe ich dir in einem Musterbeweis vorgeführt.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Allerdings frage ich mich als aller Letztes noch: Warum konvergiert $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ? Denn $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \cdot \frac{(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{align*} b_n \end{align*}$ war etwas anderes.

27.11.2017, 17:59

Snexx_Math

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Ok sehe ich auch gerade:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{(-1)^{n}+ (-1)^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Wir haben das Leibniskriterium wie folgt definiert:

"Sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \cdot a_n \end{eqnarray*}$ "

Inwiefern das Leibnizkriterium hier Anwendung findet und dies dann aussieht, ist mir (noch) ein Rätsel.

Danke für jede weitere Antwort.

27.11.2017, 19:28

HAL 9000

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Ähem, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}+ (-1)^{n} }{n} = \frac{(-1)^{n}\cdot 2}{n} \end{eqnarray*}$ , wo ist da noch ein Problem? verwirrt

verwirrt

28.11.2017, 07:19

Snexx_Math

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Habs jetzt begriffen - meone Frage war warum die Folge konvergiert aber sehe gerade wie offensichtlich dies ist 😅

Danke an alle für jede Antwort ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

LG

Snexx_Math

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