Gebrochen rationale Funktion, Polstellen und Nullstellen berechnen |
| 26.11.2017, 09:46 | GuentherW. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gebrochen rationale Funktion, Polstellen und Nullstellen berechnen Guten Tag, ich komme nicht mehr weiter bzw. bin mir auch unsicher ob der Ansatz so überhaupt richtig ist. Die Aufgabe: Bestimme die Nullstellen und Pole der Funktion f(x)=(x^4+1)/x^3+2x^2-3x). Führe hierzu eine Polynomdivision durch. Welches Verhalten ergibt sich für x gegen + und - unendlich, skizziere anschließend die Funktion qualitativ. Meine Ideen: Nullstellen gibt es keine, denn: x^4+1=0 | -1 x^4=-1 und negative Wurzel zu ziehen ist nicht möglich. Polstellen: f(x)=p(x)/q(x) q(x)=x^3+2x^2-3x | ausklammern q(x)=x(x^2+2x-3) | faktorisieren q(x)=x(x+1)(x-3) durch umformen wie bei der Nullstelle ergibt sich: D=R\{-1;3;0} da es beim einsetzen in p(x0) keinen Funktionswert von q(xo) gibt, der den Wert 0 besitzt handelt es sich nicht um hebbare Definitionslücken Polynomdivision: kam ich auf x-2*((7x^2-6x+1)/(x^3+2x^2-3x) Ich weiß jedoch gar nicht wofür ich die Polynomdivision brauche oder wie es jetzt weiter geht bzw. was ich als nächstes machen sollte :/ Danke für jede Hilfe. Viele Grüße Günther W. |
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| 26.11.2017, 10:01 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Morgen, das Vorgehen an sich, sieht sehr gut aus. Ein paar kleine Fehler sind aber noch drin. Das Faktorisieren der Nennernullstellen solltest du noch einmal überprüfen. Du hast dich da in den Vorzeichen vertan. Und den Definitionsbereich anzugeben um die Polstellen zu bezeichnen, würde ich direkter machen und sagen "Die Polstellen sind bei x = 0, x = ... zu finden" 
.Die Polynomdivision hat hier den Vorteil, dass man das Streben relativ leicht ablesen kann. Du hast ja, (x-2) + 7x^2-6x+1)/(x^3+2x^2-3x) und damit eine schiefe Asymptote der Form y = x-2. Dann solltest du schnell sehen, welches Verhalten vorliegt, da das Verhalten der Funktion f(x) und der Asymptote dasselbe ist. |
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| 26.11.2017, 10:40 | GuentherW. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim faktorisieren muss ich auf (x-1)(x+3) kommen. Für lim x-2= +unendlich x->+unendlich Für lim x-2= -unendlich x->-unendlich da das Verhalten der Asymptote mit f(x) übereinstimmt gilt dieses Grenzverhalten für die Gesamtfunktion. stimm das so? 
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| 26.11.2017, 11:05 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So dürfte es nun passen 
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| 26.11.2017, 11:17 | GuentherW. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die letzte Teilaufgabe war ja das skizzieren der Funktion. Ich berechne die Funktionswerte nach und vor jeder Polstelle indem ich kleinere oder größere Zahlen (nahe der Polstelle einsetze) -> sagt aus ob sie gegen + oder - unendlich für y laufen. Wenn ich nicht die x-Achse schneide (keine Nullstellen) und auch darauf achte die schiefe Asymptote nicht zu schneiden, müsste ich mit diesen Infos ja alles haben um zu skizzieren - jedoch nur qualitati, wie gefordert oder? biele grüße günther |
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| 26.11.2017, 11:34 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Ich würde mal die Polstellen und schiefe Asymptote einzeichnen. Dann hat man schon einen groben Überblick. Dann mittels Punktproben (wie du schon sagtest) herausfinden, wo die Funktion jeweils liegt und grob einzeichnen. Das reicht dann aus. Sollte dann um 0 etwa so aussehen: . Da fehlt dann noch der linke "Ast", aber das bekommt der Plotter nicht hin 
. |
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| 26.11.2017, 12:02 | GuentherW. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was mich verwirrt ist dass meine Polstellen -1,0 und 3 waren, aber hier die Polstellen 1, -3 und 0, könnte mir das jemand erklären oder wo mein Denkfehler beim einzeichnen liegt? (Ich muss gleich weg, um jemanden vom Bahnhof abzuholen und antworte danach natürlich!) |
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| 26.11.2017, 12:05 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit den Polstellen lag doch an deinem Vorzeichenfehler. Die haben ursprünglich nicht gepasst. Das hattest du aber im zweiten Post angeglichen
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| 26.11.2017, 14:06 | GuentherW. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt! Danke für die Hilfe, habe jetzt die komplette Aufgabe gemacht und verstanden. 
Viele Grüße Günther |
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| 26.11.2017, 14:21 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das freut mich und gerne 
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