Die Logarithmus-Funktion als Integral

26.11.2017, 10:44

Graf_Love

Die Logarithmus-Funktion als Integral

Meine Frage:
Hallo, wir haben gerade eine sehr interessante Aufgabe in der Uni zu lösen. Es geht darum den ln (spoiler) zu charakterisieren. Wir haben also eine Funktion, definiert als
$\begin{eqnarray*} L(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{s}ds \end{eqnarray*}$
Ich soll OHNE NUTZEN DES LN zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L(e^x)=x \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Ich habe nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray*} L(x) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist, differenzierbar und $\begin{eqnarray*} L'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Außerdem habe ich bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} L(xy)= L(x)+L(y) \end{eqnarray*}$ .

Damit komme ich so weit, dass ich sage
$\begin{eqnarray*} L(e^x) = \int_{1}^{e^x}\frac{1}{s} ds \end{eqnarray*}$
nach Substitution mit t=L(s)
$\begin{eqnarray*} =\int_{L(1)}^{L(e^x)}\frac{1}{s}*s, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{0}^{L(e^x)}1,dt \end{eqnarray*}$

Das Problem nun ist $\begin{eqnarray*} L(e^x) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Ich weiß dass $\begin{eqnarray*} L(e^x)=L(e)+...+L(e) \end{eqnarray*}$ , also x L(e) Summanden.
Was ist aber L(e)?
$\begin{eqnarray*} {L(e)}=\int_{1}^{e}\frac{1}{s}ds \end{eqnarray*}$
Das kann ich, da ich weiß, dass L(x) Stammfkt ist, nach Haupsatz integrieren und komme auf L(e) = L(e)... Warum sit das 1? Wenn ich das raus habe, habe ich auch x für L(e^x) raus.

Danke schon mal :-)

26.11.2017, 11:51

Leopold

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Die Cauchysche Funktionalgleichung für eine reelle Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ , also

$\begin{align*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \in \mathbb{R} \end{align*}$

wird unter den stetigen Funktionen genau von den Proportionalitäten $\begin{align*} f(x) = ax \end{align*}$ gelöst. Ein Beweis geht über den Aufbau des Zahlensystems $\begin{align*} \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \end{align*}$ .

Deine Funktion $\begin{align*} L \end{align*}$ ist stetig und erfüllt die Funktionalgleichung

$\begin{align*} L(xy) = L(x) + L(y) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \in \left( 0 , \infty \right) \end{align*}$

Jetzt definiere damit $\begin{align*} f(x) = L \left( \operatorname{e}^x \right) \end{align*}$ und weise für $\begin{align*} f \end{align*}$ die Cauchysche Funktionalgleichung nach. Ziehe die entsprechende Folgerung daraus. An irgendeiner Stelle mußt du Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion oder der Eulerschen Zahl einsetzen, denn zum Beispiel auch $\begin{align*} f(x) = L \left( 2^x \right) \end{align*}$ erfüllt die Cauchysche Funktionalgleichung. Welche Eigenschaften das sind, hängt davon ab, wie bei euch diese Begriffe eingeführt wurden.

26.11.2017, 12:21

IfindU

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Alternativ folgt mit $\begin{eqnarray*} L'(x) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$ und der Kettenregel, dass $\begin{eqnarray*} L(e^x)' = L'(e^x) e^x = 1 \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} L(e^x) \end{eqnarray*}$ affin in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Es bleibt aus $\begin{eqnarray*} L(e^x) = x +b \end{eqnarray*}$ mit Anfangswerten $\begin{eqnarray*} b= 0 \end{eqnarray*}$ zu folgern.

26.11.2017, 12:39

Graf_Love

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Hallo Leopold, schon mal danke für deine Antwort! Leider hatten wir die Cauchysche Funktionalgleichung nicht. Wir sind stofflich am Ende der Analysis I. Auch wenn ich glaube zu verstehen worauf du hinauswillst traurig

Um einen Eindruck der mir zur Verfügung stehenden Methoden zu bekommen habe ich einfach mal ein Bild meiner bisherigen Beweisführung angehangen:

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten sind kurzlebig und werden als unerwünscht entfernt. Hänge bitte statt dessen die Grafik an deinen Beitrag an!

Wow, da sehe ich gerade, dass bei den Abschätzungen natürlich in der Klammer "-x" und nicht "-h" stehen muss. Fehler beim sauberen Aufschreiben der Rechnung gemacht....

26.11.2017, 13:04

Graf_Love

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Zitat:

Original von IfindU
Alternativ folgt mit $\begin{eqnarray*} L'(x) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$ und der Kettenregel, dass $\begin{eqnarray*} L(e^x)' = L'(e^x) e^x = 1 \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} L(e^x) \end{eqnarray*}$ affin in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Es bleibt aus $\begin{eqnarray*} L(e^x) = x +b \end{eqnarray*}$ mit Anfangswerten $\begin{eqnarray*} b= 0 \end{eqnarray*}$ zu folgern.

Das ist großartig! Zwar kenne ich den Begriff "affin in x" nicht, aber ich kann die Ableitung, die wie du zeigst offensichtlich 1 ist, integrieren mit $\begin{eqnarray*} L(e^x)=x+C \end{eqnarray*}$ bzw. wie du sagst b und zeige dann dass C=0 ist, indem ich für x einfach 0 einsetze und $\begin{eqnarray*} L(e^0) \end{eqnarray*}$ berechne. DANKE!!!! smile

26.11.2017, 13:09

IfindU

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Schön, dass es geklappt hat Freude

Mit affinenen Abbildung meinte man Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = a x + b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder in höheren Dimensionen dann $\begin{eqnarray*} f(x) = Ax + b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{n\times m}, b\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ .

In der Schule nennt man sowas gerne Linear. Aber in der Hochschulmathematik wird linear besser nur für den Spezialfall $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ benutzt. (Sonst sind lineare Abbildung der Analysis nicht zwingend lineare Abbilundg in der Linearen Algebr.)

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