Absolute Konvergenz der Reihe

26.11.2017, 11:57

Marc52151

Absolute Konvergenz der Reihe

Meine Frage:
Hi!

Ich soll herausfinden ob die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(sqrt(n+1)-sqrt(n)}{\sqrt[4]{n}^3 } <br /> \end{eqnarray*}$
absolut konvergiert.
Ich bin mir ziemlich sicher dass das nicht der Fall ist und wollte es mit dem Minorantenkriterium beweisen, komme aber leider auf keine Lösung

Meine Ideen:
Minorantenkriterium: Beweis, dass > harmonische Reihe

26.11.2017, 12:06

Leopold

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Für die absolute Konvergenz kann man den Vorzeichenfaktor $\begin{align*} (-1)^n \end{align*}$ weglassen. Erweitere den Bruch mit $\begin{align*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{align*}$ , vereinfache und schätze das allgemeine Reihenglied in einfacher Weise nach oben ab, bis du eine - ja - Majorante gefunden hast.

26.11.2017, 13:05

Marc52151

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Zitat:

Original von Leopold
Für die absolute Konvergenz kann man den Vorzeichenfaktor $\begin{align*} (-1)^n \end{align*}$ weglassen. Erweitere den Bruch mit $\begin{align*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{align*}$ , vereinfache und schätze das allgemeine Reihenglied in einfacher Weise nach oben ab, bis du eine - ja - Majorante gefunden hast.

Ok ich habe jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[4]{n}^3*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe noch nicht ganz wie ich das abschätzen soll

26.11.2017, 13:10

Leopold

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$\begin{align*} \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \end{align*}$ liegt nahe.

26.11.2017, 13:38

Marc52151

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \end{align*}$ liegt nahe.

Ich soll ja eine Majorante finden, die konvergiert, weil das bedeutet dann, dass auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[4]{n}^3*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

konvergiert, oder?

d.h. ich schreibe eine ungleichungskette mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[4]{n}^3*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$ <= ... <= ... <= ...

und lande dann am Ende bei irgendetwas Konvergierendem?
Die Abschätzung die du mir gegeben hast leuchtet mir ein, aber ich versteh überhaupt nicht wie ich jetzt weitermachen soll, dass ich dann zu einer Majorante komme Hammer

26.11.2017, 14:42

HAL 9000

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Dann siehst du wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht: Aus $\begin{align*} \sqrt{n+1}>\sqrt{n} \end{align*}$ folgt doch direkt

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt[4]{n}^3\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} < \frac{1}{\sqrt[4]{n}^3\cdot (\sqrt{n}+\sqrt{n})} = \frac{1}{2\sqrt[4]{n}^3\cdot \sqrt{n}} \end{align*}$ .

Jetzt kannst du die diversen n-Potenzen im Nenner exponentenmäßig noch zusammenfassen, und schon ist mal bei einer (hoffe ich) wohlbekannten Vergleichsreihe.

26.11.2017, 16:11

Marc52151

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Ok jetzt bekomme ich folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*n^\frac{5}{4} } \end{eqnarray*}$

und das ist kleiner als die harmonische Reihe 1/n , also bringt mir das jetzt nichts, weil damit es divergiert, müsste es ja größer als die harmonische Reihe sein.

Ich seh momentan wirklich den Wald vor lauter Bäumen nicht

26.11.2017, 16:15

Leopold

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Zitat:

Original von Marc52151
und das ist kleiner als die harmonische Reihe 1/n

Solche Formulierungen am besten gleich abgewöhnen. Man weiß nicht, wovon du sprichst. Was ist das Subjekt "das" deines Satzes? Und was wird überhaupt verglichen? Irgendwie erinnert mich diese Formulierung an den Kalauer "nachts ist es kälter als draußen".

26.11.2017, 16:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marc52151
also bringt mir das jetzt nichts, weil damit es divergiert, müsste es ja größer als die harmonische Reihe sein.

Den Beitrag von Leopold 12:06 hast du offensichtlich nicht gelesen - jedenfalls nicht bis zum Ende. Augenzwinkern

27.11.2017, 19:47

Marc52151

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Marc52151
also bringt mir das jetzt nichts, weil damit es divergiert, müsste es ja größer als die harmonische Reihe sein.

Den Beitrag von Leopold 12:06 hast du offensichtlich nicht gelesen - jedenfalls nicht bis zum Ende. Augenzwinkern

Ich bin leider zu unfähig, um eine Majorante zu finden unglücklich

27.11.2017, 20:01

HAL 9000

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$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^\frac{5}{4}} \end{align*}$ ist doch bereits die Majorante!!! Ich hatte angenommen, dass du das weißt:

Zitat:

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{align*}$ ist konvergent für reelle $\begin{align*} \alpha>1 \end{align*}$ und divergent für $\begin{align*} \alpha\leq 1 \end{align*}$ .

(Beweisbar ist das z.B. mit dem Verdichtungskriterium.)

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