Induktionsbeweis für Formel von Moivre

26.11.2017, 13:16

jjooo

Induktionsbeweis für Formel von Moivre

Meine Frage:
Wir definieren die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$ rekursiv wie folgt:

$\begin{eqnarray*} b_{0} :=0,<br /> b_{1} :=1,<br /> b_{n+1} := b_{n} + b_{n-1}, n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in N :b_{n} = 1/\sqrt{5}((1+\sqrt{5}/2)^n - (1 - \sqrt{5} /2 )^n ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Achtung : hier bei meiner Lösung bedeutet ? die wurzel

b(0) = 0

b(1) = 1

b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)

Zeige dass für alle n gilt:

b(n) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)n - ((1 - ?5)/2)n)

Induktionsanfang n = 0 ; n = 1

b(0) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)0 - ((1 - ?5)/2)0) = 0

b(1) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)1 - ((1 - ?5)/2)1) = 1

Induktionsschritt n und n - 1 --> n + 1

b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)

1/?5·(((1 + ?5)/2)^n + 1 - ((1 - ?5)/2)^n + 1) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)^n - ((1 - ?5)/2)^n) + 1/?5·(((1 + ?5)/2)^n - 1) - ((1 - ?5)/2)^n - 1)

(((1 + ?5)/2)^n + 1 - ((1 - ?5)/2)^n + 1) = (((1 + ?5)/2)^n) - ((1 - ?5)/2)^n) + (((1 + ?5)/2)^n - 1 ) - ((1 - ?5)/2)^ n - 1) ....

leider ich komm nicht weiter bzw ich weiss nicht mehr was ich jetzt machen soll
also ich weiss, dass ich jetzt zeigen muss ob die Aussage wahr ist.
aber wie ?

EDIT: Latex (so gut es ging) verbessert. (klarsoweit)

28.11.2017, 11:09

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis für Formel von Moivre

Zitat:

Original von jjooo
Beweisen Sie:
$\begin{eqnarray*} \forall n\in N :b_{n} = 1/\sqrt{5}((1+\sqrt{5}/2)^n - (1 - \sqrt{5} /2 )^n ) \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Weile gebraucht, bis ich gemerkt habe, daß da ein Klammerfehler drinsteckt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^n \right) \end{eqnarray*}$

Beim Induktionsschritt würde ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \cdot b_n + \sqrt 5 \cdot b_{n-1} = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} - \frac{3-\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch verwenden, daß $\begin{eqnarray*} \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{(1+\sqrt 5)^2}{2^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{(1-\sqrt 5)^2}{2^2} \end{eqnarray*}$ ist, und dann ist man quasi fertig. smile

28.11.2017, 11:19

HAL 9000

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Anmerkung zur Namensgebung
Ich kenne das als Formel von Binet, laut Wikipedia kann man es aber auch Moivre/Binet nennen. Sagt man aber nur Formel von Moivre, dann denke ich doch eher an das hier. smile

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