Induktionsbeweis für Formel von Moivre

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jjooo Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis für Formel von Moivre
Meine Frage:
Wir definieren die Folge rekursiv wie folgt:



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Meine Ideen:
Achtung : hier bei meiner Lösung bedeutet ? die wurzel

b(0) = 0

b(1) = 1

b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)


Zeige dass für alle n gilt:


b(n) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)n - ((1 - ?5)/2)n)


Induktionsanfang n = 0 ; n = 1


b(0) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)0 - ((1 - ?5)/2)0) = 0

b(1) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)1 - ((1 - ?5)/2)1) = 1


Induktionsschritt n und n - 1 --> n + 1


b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)

1/?5·(((1 + ?5)/2)^n + 1 - ((1 - ?5)/2)^n + 1) = 1/?5·(((1 + ?5)/2)^n - ((1 - ?5)/2)^n) + 1/?5·(((1 + ?5)/2)^n - 1) - ((1 - ?5)/2)^n - 1)

(((1 + ?5)/2)^n + 1 - ((1 - ?5)/2)^n + 1) = (((1 + ?5)/2)^n) - ((1 - ?5)/2)^n) + (((1 + ?5)/2)^n - 1 ) - ((1 - ?5)/2)^ n - 1) ....

leider ich komm nicht weiter bzw ich weiss nicht mehr was ich jetzt machen soll
also ich weiss, dass ich jetzt zeigen muss ob die Aussage wahr ist.
aber wie ?

EDIT: Latex (so gut es ging) verbessert. (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Formel von Moivre
Zitat:
Original von jjooo
Beweisen Sie:


Ich habe eine Weile gebraucht, bis ich gemerkt habe, daß da ein Klammerfehler drinsteckt. Richtig ist:



Beim Induktionsschritt würde ich so vorgehen:







Jetzt noch verwenden, daß und ist, und dann ist man quasi fertig. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung zur Namensgebung
Ich kenne das als Formel von Binet, laut Wikipedia kann man es aber auch Moivre/Binet nennen. Sagt man aber nur Formel von Moivre, dann denke ich doch eher an das hier. smile
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