Berechnung des Grenzwertes

26.11.2017, 15:17

Snexx_Math

Berechnung des Grenzwertes

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}}{(2^{2})^{n}} \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}}{(2^{2})^{n}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}}{1\cdot (2^{2})^{n}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{(-1)^{n}}{1}\cdot \frac{3^{n}}{(2^{2})^{n}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } 1\cdot \frac{3^{n}}{(2^{2})^{n}} \end{eqnarray*}$ & da $\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\cdot \frac{(-1)^{n}}{1}= 1\cdot 1 \end{eqnarray*}$ wenn n gerade und $\begin{eqnarray*} -1\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ wenn n ungerade, also in jedem Fall immer $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$

Weiter dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } 1\cdot \frac{3^{n}}{(2^{2})^{n}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{3}{2^{2}})^{n}= \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{3}{4})^{n} = \end{eqnarray*}$ (anhand der geometrischen Reihe ist Folgendes legitimiert) $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}}= 4 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig ?

LG

Snexx_Math

26.11.2017, 15:35

Leopold

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RE: Berechnung des Grenzwertes

Zitat:

Original von Snexx_Math
Ist das richtig ?

Fast. Wie sieht es mit dem Summationsanfang aus?

26.11.2017, 15:37

HAL 9000

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Die Summenformel der geometrischen Reihe lautet $\begin{align*} \sum_{n={\color{red}0}}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{align*}$ , deine vorliegende Reihe ist aber von der Struktur $\begin{align*} \sum_{n={\color{red}1}}^{\infty} q^n \end{align*}$ . Für die Frage Konvergenz/Divergenz mag ja der Anfangsindex unwichtig sein - bei der Bestimmung des Reihenwerts ist aber darauf zu achten!

26.11.2017, 15:38

Snexx_Math

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RE: Berechnung des Grenzwertes
Der Summationsanfang meint ja denke ich mal den Laufindex indirekt, dieser könnte natürlich auch 0 sein aber da die Aufgabe diesen schon auf 1 setzt, dachte ich mir behalte ich das so bei.

Oder meinen Sie etwas anderes ?

LG

26.11.2017, 15:44

Leopold

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Entscheide: Sind die beiden folgenden Werte gleich?

$\begin{align*} \text{1. Wert} = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{2. Wert} = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 \end{align*}$

26.11.2017, 15:55

Snexx_Math

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Zitat:

Original von Leopold
Entscheide: Sind die beiden folgenden Werte gleich?

$\begin{align*} \text{1. Wert} = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{2. Wert} = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 \end{align*}$

Nein natürlich nicht.

Und mit dem Einschub von @HAL 9000 sehe ich auch den Fehler ein.

Also könnte ich doch :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{1}^{\infty}(\frac{3}{4})^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{3}{4})^{n} - \sum\limits_{n=0}^{0}(\frac{3}{4})^{n} = 4-1 = 3 \end{eqnarray*}$

Besser ?

26.11.2017, 15:56

Leopold

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Um 1 Ganzes richtiger.

26.11.2017, 15:57

Snexx_Math

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Danke

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