Uneigentliches Integral einer nicht beschränkten Funktion

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Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral einer nicht beschränkten Funktion
Meine Frage:
Ich soll ein Gegenbeispiel finden, so dass mit nicht folgt, dass lim f(x) = 0 für x gegen unendlich UND dass f nicht einmal beschränkt sein muss.

Meine Ideen:
Ich dachte an etwas, das oszilliert und sich so beim aufsummieren wieder negiert. Damit der Grenzwert gegen unendlich existiert, muss die Oszillation aber immer "dünner" werden und damit f unbeschränkt ist gleichzeitig immer höher. Sowas wie

Nur habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung, ob das nun existiert oder nicht :-/
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral einer nicht beschränkten Funktion
Das Riemann-Integral ist beschränkt. Man kann eine Stammfunktion sofort mit angeben. Und wenn es um das Riemann-Integral geht, kann man mit ein paar Modifikationen wirklich so eine Funktion angeben.

Aber es gibt auch eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Ausserdem kann man strikt positiv wählen, d.h. für alle . Es ist einfacher an Treppenfunktionen zu denken, anstatt von glatten Funktionen. Der Flächeninhalt von solchen Treppenstufen ist dank Höhe Mal Breite schnell berechnet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Graf_Love
so dass mit

Seltsam unvollständiger Satz. Anscheinend meinst du hier

Zitat:
so dass mit existiert (d.h. endlich ist).



Tipp: Man kann Funktionen auch stückweise definieren. Und in Ergänzung zu IfindU: Man findet auch stetige Gegenbeispiele, z.B. mit Dreiecken statt Treppen in der Funktionskonstruktion.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt für Intervalle mit Länge zu betrachten, kann man auch den Standardglätter nehmen, und jede Stufe glätten. D.h. , wobei .

Dann hat man auch eine glatte Funktion gefunden. Big Laugh

Was es allerdings bereits nicht gibt: eine gleichmäßig stetige Funktion mit den gesuchten Eigenschaften. Insbesondere keine Lipschitz-stetige Funktion. Vermutlich gibt es auch ein schönes Totschlagargument, warum es keine analytische Funktion mit den Eigenschaften gibt. Aber da bin ich mir unsicher.
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um das Regel-Integral, also die Funktion als Approximation einer Folge von Treppenfunktionen. Das sollte sich mit Riemann nichts nehmen. Wir sind stofflich aber erst in der Ana I, also kein Lesbegue! :-D

Dann klappt meine Funktion nicht unglücklich was für Modifikationen meintest du?
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral einer nicht beschränkten Funktion
Zitat:
Original von Graf_Love
So viele Fehler im Originaltext!


Meine Frage:
Ich soll ein Gegenbeispiel finden, so dass existiert mit , f STETIG und nicht folgt, dass lim f(x) = 0 für x gegen unendlich UND dass f nicht einmal beschränkt sein muss.

Meine Ideen:
Ich dachte an etwas, das oszilliert und sich so beim aufsummieren wieder negiert. Damit der Grenzwert gegen unendlich existiert, muss die Oszillation aber immer "dünner" werden und damit f unbeschränkt ist gleichzeitig immer höher. Sowas wie

Nur habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung, ob das nun existiert oder nicht :-/ EDIT: existiert nicht, weil Stammfunktion ist 1/2 cos(x^2) was für x-->unendlich divergiert :-(
 
 
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral einer nicht beschränkten Funktion
Habe jetzt nochmal 1,5 Stunden herumprobiert und komme auf keinen grünen Zweig. Es können theoretisch 2 verschiedene Funktionen sein, eine, die unbeschränktes f(x) hat und eine, die für x --> unenedlich nicht 0 ist. Ich habe mittlerweile das Gefühl nicht mal mehr einen Ansatz zu haben traurig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man keine eigenen Ideen hat bzw. die eigenen Ideen nicht funktionieren, dann könnte man ja eventuell auch die gegebenen Anregungen im Thread zumindest in Erwägung ziehen...


Bezogen auf meine Dreiecksidee: Als Vorüberlegung denke man an ein einzelnes Dreieck, welches seine Spitze an der Stelle habe mit einer Höhe und einer Breite , d.h., von bis zu liegt die Basisseite dieses gleichschenkligen Dreiecks. und sollen nun so gewählt werden, dass einerseits gilt (das sichert die Unbeschränktheit der zu konstruierenden Funktion) und andererseits die zugehörige Dreiecksfläche so gegen Null konvergiert, dass sogar die Reihe konvergiert, denn die entspricht dann bei Aufsummierung all dieser Dreiecksfunktionen dem Integralwert .

Eine einfache Wahl wäre z.B. sowie , damit hätte man dann den summierbaren Dreiecksflächeninhalt . Aus all diesen Vorüberlegungen ergibt sich die Funktion



mit Integralwert .
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sowas von clever und schön, danke sehr! Ich habe nicht dran gedacht, dass man mit der Summe eine Art neue Variable ins Spiel bringen kann :-) das ist großartig!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Vermutlich gibt es auch ein schönes Totschlagargument, warum es keine analytische Funktion mit den Eigenschaften gibt.

Da geht's mir übrigens ähnlich. Auch ich denke, dass es keine diesbezügliche analytische Funktion gibt: Was mir konstruktiv so einfällt, ähnelt der Dreiecksidee oben, nur mit Testfunktionen (d.h. unendlich oft differenzierbar mit kompakten Träger) statt Dreiecken, aber diese Testfunktionen sind ja offenkundig nicht analytisch. Was dann auch auf die damit konstruierte Funktion zutrifft - immerhin ist sie unendlich oft differenzierbar.

Vielleicht kann uns ja ein Durchblicker erlösen und uns das Totschlagargument nennen. smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin am überlegen, ob es nicht doch geht, indem man statt mit Testfunktionen das ganze mit geschickt-skalierten Normalverteilungen durchexerziert. Bei endlich-vielen Hügeln ist das Ergebnis trivialerweise analytisch. Die Frage wäre, ob das im Grenzprozess noch erhalten bleibt. Und ich könnte mir gut vorstellen, dass es das tut.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, z.B. mit meinem Skalierungsregime von oben wäre das dann sowas wie

.

Ja, gut möglich, dass das funktioniert.

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