Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen

27.11.2017, 13:53

HenneMa

Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bräuchte eventuell mal einen Denkanstoz bei einer Reihe, die ich auf Konvergenz prüfen soll.
Es geht um: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^4}{2^{k^2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe es mit dem Quotientenkreterium versucht, nur bin ich dann leider zu dumm zum kürzen.
$\begin{eqnarray*} \frac{ \left(k+1 \right)^4 * 2^{k*k}}{2^{\left ( k+1 \right )^2}*k^4} \end{eqnarray*}$
Hat jemand einen Tipp?

EDIT: Latex-Tags korrigiert und Code verbessert (klarsoweit)

27.11.2017, 14:04

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen
Wie wäre es mit dem Wurzelkriterium? Augenzwinkern

27.11.2017, 14:13

Matt Eagle

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RE: Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen
Das Quotientenkriterium ist hier schon mal keine schlechte Wahl.

Allerdings solltest Du den Quotienten zunächst mal richtig aufschreiben und dann die, aus der Mittelstufe bekannten, Rechenregeln anwenden.

Besonderer Beachtung bedarf erfahrungsgemäß der Term $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Für k=3 z.B. wäre das 2^9=512 und nicht etwa 8^2=64.

27.11.2017, 16:58

HenneMa

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RE: Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen
Danke erstmal smile

Wie soll ich das den mit dem Wurzelkreterium machen? Ich werde mir das gleich nochmal ansehen, habe diese Möglichkeit aber eigentlich ausgeschlossen.

Genau dieses Umformen und der Term $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ machen mir Probleme. Wie kann ich da kürzen? Das k+1 stört mich halt

27.11.2017, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von HenneMa
Genau dieses Umformen und der Term $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ machen mir Probleme. Wie kann ich da kürzen? Das k+1 stört mich halt

Potenzgesetze! Und dann im Exponenten ausmultiplizieren und vereinfachen:

$\begin{align*} \frac{(k+1)^4\cdot 2^{k^2}}{2^{(k+1)^2}\cdot k^4} = \frac{(k+1)^4}{2^{(k+1)^2-k^2}\cdot k^4} = \frac{1}{2^{2k+1}}\cdot \left( 1+ \frac{1}{k}\right)^4 \end{align*}$

27.11.2017, 18:43

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen

Zitat:

Original von HenneMa
Wie soll ich das den mit dem Wurzelkreterium machen?

Genau eben das tun, was beim Wurzelkriterium gefordert wird. Augenzwinkern

27.11.2017, 20:40

HenneMa

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RE: Konvergenz von Reihen mit zwei Potenzen
Danke nochmal für die Hilfe,

bei einer letzten Sache bin ich mir jedoch unsicher.
Für Konvergenz muss ich ein q finden, für das gilt: q<1. Meine Frage ist jetzt, ob die Regel für q für jedes mögliche k gelten muss.

Den Schritt: $\begin{eqnarray*} \left | \frac{\frac{\left (k+1 \right )^4}{2^{\left (k+1 \right )^2}}}{\frac{k^4}{2^{k^2}}} \right | = \frac{\left (k+1\right)^4 * 2^{k^2}}{2^{\left (k+1\right)^2}*k^4} =\frac{\left ( k+1 \right )^4}{2^{\left (k+1 \right )^2 - k^2}*k^4} = \frac{1}{2^{2k+1}} * \left (1+ \frac{1}{k} \right )^4 \end{eqnarray*}$ verstehe ich.
Nun wollte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2k+1}} * \left (1+ \frac{1}{k} \right )^4 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Für jedes k gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2k+1}} \leq \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left (1+ \frac{1}{k} \right )^4 \leq 16 \end{eqnarray*}$

Das heißt wenn k=1, dann ist q>1, für alle anderen k gilt q<1.
Heißt das jetzt Konvergenz oder Divergenz.
Darf man sagen für alle k>1 gilt konvergenz?

Bei dem Wurzelkreterium komme ich leider nicht ganz weiter. Da habe ich jetzt: $\begin{eqnarray*} simsup\sqrt[k]{\left | \frac{k^4}{2^{k^2}} \right |} \end{eqnarray*}$
Habe das Wurzelkreterium noch nie verwendet.

27.11.2017, 21:26

HAL 9000

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Sowohl bei Quotienten- als auch Wurzelkriterium reicht es, ein $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ zu finden, so dass die Abschätzung nicht für alle $\begin{align*} k \end{align*}$ gelten muss, sondern nur für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall reicht bereits $\begin{align*} k_0=2 \end{align*}$ , denn dann ist

$\begin{align*} \frac{1}{2^{2k+1}} \cdot \left (1+ \frac{1}{k} \right )^4 \leq \frac{2^4}{2^5} = \frac{1}{2} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$ .

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