Erzeugendensystem mit einem Vektor nicht aus U

27.11.2017, 16:37	Bacchanal	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem mit einem Vektor nicht aus U Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich habe folgende Situation. Ich habe den Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subset \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} U = span (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ , sowie drei Vektoren $\begin{eqnarray} u_1, u_2, u_3. \end{eqnarray}$ Man soll nun überprüfen, ob diese ein Erzeugendensystem oder sogar eine Basis des $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sind. $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ erzeugen diesen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , jedoch ist $\begin{eqnarray} u_3 \notin U. (u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Die Frag ist nun, ob das System der drei gegeben $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ ein EZS ist? Meine Ideen: Basis kann man ausschließen, da es nicht minimal ist aber es werden ja alle Vektoren des $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ erzeugt, nur halt noch ein paar mehr also hier sogar ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ . Liebe Grüße Bacchanal
27.11.2017, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Basis eines Vektorraumes ist ein minimales Erzeugendensystem $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Nimmt man beliebig viele Vektoren zur Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ dazu, $\begin{eqnarray} C=B\cup X \end{eqnarray}$ , so ist es nicht mehr notwendig minimal, es verliert aber nicht seine Erzeugendensystem-Eigenschaft. Denn: noch immer lässt sich jeder Vektor als endliche Linearkombination von Vektoren der Menge $\begin{eqnarray} B\subseteq C \end{eqnarray}$ darstellen, also als endliche Linearkombination von Vektoren der Menge $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ .
27.11.2017, 18:54	Bacchanal	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Das was du schreibst, ist mir soweit klar. Die Frage ist jedoch. Man hat einen Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , sagen wir der Dimension 2. Man nimmt jetzt zwei beliebige linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und erhält ein EZS sowie eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ selber eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ hat 3 Dimensionen. Das heißt $\begin{eqnarray} M \backslash U \neq \{ \} \end{eqnarray}$ . Sucht man sich jetzt ein $\begin{eqnarray} v \in M \backslash U \end{eqnarray}$ und vereinigt es mit der Menge der Vektoren $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ , ist es dann immer noch ein EZS von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , da ja jetzt mehr Vektoren als in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ erzeugt werden? lg
27.11.2017, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
U hat Dimension 2 und Basis $\begin{eqnarray} \{u_1,u_2\} \end{eqnarray}$ . Wenn man einen linear unabhängigen Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ dazunimmt, erzeugen die 3 Vektoren einen VR der Dimension 3, sie erzeugen insbesondere $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , aber nicht nur $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ .
27.11.2017, 19:10	Bacchanal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hab ich mir schon fast gedacht. Vielen Dank für deine Antwort. lg Bacchanal
28.11.2017, 14:18	Bacchanal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe heute noch mal die ganze Geschichte besprochen und es ist tatsächlich so, dass zwar $\begin{eqnarray} \{ u_1, u_2\} \end{eqnarray}$ ein EZS ist aber durch $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \{u_1, u_2, v\} \end{eqnarray}$ kein EZS mehr ist. Denn: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} S \subset V \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Span}(S) = V \end{eqnarray}$ , so heißt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Wichtig ist also hier die Gleichheit. Es dürfen also nicht mehr Vektoren erzeugt werden. Liebe Grüße Bacchanal
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29.11.2017, 15:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ein EZS, wie ich bereits bewiesen habe. Es ist keine Basis, also kein minimales EZS. Besprechen hilft nicht, um Fakten zu widerlegen.

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