Erzeugendensystem mit einem Vektor nicht aus U

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Bacchanal Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem mit einem Vektor nicht aus U
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich habe folgende Situation.

Ich habe den Untervektorraum gegeben mit , sowie drei Vektoren Man soll nun überprüfen, ob diese ein Erzeugendensystem oder sogar eine Basis des sind. und erzeugen diesen , jedoch ist

Die Frag ist nun, ob das System der drei gegeben ein EZS ist?

Meine Ideen:
Basis kann man ausschließen, da es nicht minimal ist aber es werden ja alle Vektoren des erzeugt, nur halt noch ein paar mehr also hier sogar ganz .

Liebe Grüße

Bacchanal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis eines Vektorraumes ist ein minimales Erzeugendensystem . Nimmt man beliebig viele Vektoren zur Basis dazu, , so ist es nicht mehr notwendig minimal, es verliert aber nicht seine Erzeugendensystem-Eigenschaft. Denn: noch immer lässt sich jeder Vektor als endliche Linearkombination von Vektoren der Menge darstellen, also als endliche Linearkombination von Vektoren der Menge .
 
 
Bacchanal Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.
Das was du schreibst, ist mir soweit klar. Die Frage ist jedoch.

Man hat einen Untervektorraum , sagen wir der Dimension 2. Man nimmt jetzt zwei beliebige linear unabhängige Vektoren und aus und erhält ein EZS sowie eine Basis von .

Sei selber eine echte Teilmenge von . hat 3 Dimensionen. Das heißt .

Sucht man sich jetzt ein und vereinigt es mit der Menge der Vektoren und , ist es dann immer noch ein EZS von , da ja jetzt mehr Vektoren als in erzeugt werden?

lg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

U hat Dimension 2 und Basis . Wenn man einen linear unabhängigen Vektor dazunimmt, erzeugen die 3 Vektoren einen VR der Dimension 3, sie erzeugen insbesondere , aber nicht nur .
Bacchanal Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das hab ich mir schon fast gedacht.
Vielen Dank für deine Antwort.

lg Bacchanal
Bacchanal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe heute noch mal die ganze Geschichte besprochen und es ist tatsächlich so, dass zwar ein EZS ist aber durch dann kein EZS mehr ist.

Denn:

Sei ein -Vektorraum und . Ist , so heißt ein Erzeugendensystem von .

Wichtig ist also hier die Gleichheit. Es dürfen also nicht mehr Vektoren erzeugt werden.


Liebe Grüße

Bacchanal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein EZS, wie ich bereits bewiesen habe. Es ist keine Basis, also kein minimales EZS. Besprechen hilft nicht, um Fakten zu widerlegen.
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