Monotonie

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Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie
Hallo,
ich hänge an folgender Aufgabe. Ich soll nachweisen, dass folgende rekursiv definierte Folge nicht monoton ist:

mit

Meine Ideen: Ich betrachte zwei Fälle; 1.) und 2.

Dann habe ich im 1. Fall: daraus folgt

Dann ziehe ich die Wurzel. Da a_n > 0 ist gilt . Daraus dann

Im 2. Fall erhalte ich: Stimmt das so? Gott
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Phythagoras,

wenn du zeigen willst, dass eine Folge nicht monoton ist, berechnest du (wenn der Fall nicht besonders exotisch ist) einfach so lange Folgenglieder, bis du siehst, dass es mal rauf und mal runter geht. Da musst du in der Regel nicht besonders tief für argumentieren. Bis a_10 würde ich schon ausrechnen, ich schätze mal, dass du es bis einschließlich a_6 siehst.

Grüße
sibelius84
Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber funktioniert das nicht so, wie bei mir?
Kannst du zeigen, wie du es genau machen würdest?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so:

Zunächst mal stellen wir fest, dass alle Folgenglieder positiv reell sind. Falls die Folge konvergiert, dann gegen ein welches Lösung der Gleichung ist, umgeformt . Da außerdem offenbar sein muss, kann das nur sein.

Jetzt kann man den Abstand der Folgenglieder zu diesem mutmaßlichen (!) Grenzwert bilden:

.

Nun gilt stets , damit ist klar, dass mit wachsendem Index ständig alternierend das Vorzeichen wechselt - was noch etwas genauer die Nichtmonotonie der Folge charakterisiert. Augenzwinkern
Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL900. Das die Folge einen Grenzwert hat, habe ich nachgewiesen, indem ich gezeigt habe, dass an eine Cauchy Folge ist. smile
Danke für deine trickreiche Umformung Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Phythagoras546
Das die Folge einen Grenzwert hat, habe ich nachgewiesen, indem ich gezeigt habe, dass an eine Cauchy Folge ist.

Na hoffentlich nicht falscherweise so, sondern richtig. unglücklich
 
 
Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein. Ich denke ich habe es richtig gemacht. Danke dir smile
Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Oder so:


.

Nun gilt stets , damit ist klar, dass mit wachsendem Index ständig alternierend das Vorzeichen wechselt - was noch etwas genauer die Nichtmonotonie der Folge charakterisiert. Augenzwinkern



Sorry ich bins nochmal: Warum alternierd das Vorzeichen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Phythagoras546
Warum alterniert das Vorzeichen?

a) Was passiert, wenn du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl wie multiplizierst?

b) Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit einer negativen Zahl wie multiplizierst?
Phythagoras546 Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weis du denn das (a_n -a) positiv oder negativ sein kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eins von beiden ist es ja wohl, zumindest im Fall n=0. Konkret folgt also aus (nachrechnen!) dann



Ist das denn wirklich so schwer, dass man dazu zig Nachfragen stellen muss? unglücklich
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend ja.

a_0 = 1
a_1 = 1/3
a_2 = 1/(2+(1/3)) = 3/7

Also: a_2 > a_1 < a_0 => Folge nicht monoton steigend => voila.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens liefert



auch so ganz nebenbei einen einfachen Weg, die Folgenkonvergenz nachzuweisen: Wie schon festgestellt, ist für alle , demzufolge kann man abschätzen

mit ,

daraus folgt sofort unmittelbar und mit auch sofort die Konvergenz mit "geometrischer" Folgenkonvergenzgeschwindkeit.
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