Umkehrbarkeit

27.11.2017, 21:16

Thomas7

Umkehrbarkeit

Hallo miteinander

Ich habe eine kleine Frage: Die Sinus-Funktion ist ja nicht bijektiv. Kann man aber den Definitionsbereich bzw. Wertevorrat so einschränken, dass sie doch bijektiv ist?

Danke für die Inputs. smile

27.11.2017, 21:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Thomas7
Kann man aber den Definitionsbereich ~~bzw. Wertevorrat~~ so einschränken, dass sie doch bijektiv ist?

Ja klar, z.B. auf dasjenige Intervall, wo dann die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ist - welches ist das? Augenzwinkern

27.11.2017, 22:05

Thomas7

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Also ist sin in [-1, 1] bijektiv und damit auch umkehrbar. Hammer

27.11.2017, 22:11

HAL 9000

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$\begin{align*} [-1,1] \end{align*}$ ist nur der Wertevorrat der Sinusfunktion. Die eingeschränkte Definitionsmenge, auf den ich mit der $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ -Anmerkung abgezielt habe, ist $\begin{align*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ . Oder um alles nochmal zusammenzufassen:

$\begin{align*} f:\; \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1] \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x)=\sin(x) \end{align*}$

ist eine bijektive Funktion mit der Umkehrfunktion

$\begin{align*} f^{-1}:\; [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ mit $\begin{align*} f^{-1}(x)=\arcsin(x) \end{align*}$ .

-------------------------------------------------------

Du kannst dir natürlich auch andere Bereiche raussuchen, z.B.:

$\begin{align*} g:\; \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right] \to [-1,1] \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x)=\sin(x) \end{align*}$

ist auch bijektiv, aber mit Umkehrfunktion

$\begin{align*} g^{-1}:\; [-1,1] \to \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right] \end{align*}$ mit $\begin{align*} g^{-1}(x)=\pi-\arcsin(x) \end{align*}$ .

27.11.2017, 22:44

Thomas7

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Ah natürlich, stimmt. smile

Noch eine Frage: f(x) = -(x-2)^2 ist ja auch nicht bijektiv.

Gibt es auch hier ein Intervall, wo f bijektiv ist? ...wie kann ich das herausfinden?

27.11.2017, 23:15

HAL 9000

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Der Graph einer solchen quadratischen Funktion ist eine Parabel. Da solltest du eigentlich selber rauskriegen, wie man den Definitionsbereich einschränken muss, damit die eingeschränkte Funktion injektiv wird (d.h. keine Funktionswerte "doppelt" vorkommen).

28.11.2017, 00:00

Thomas7

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Ah, na dann kann man ja z.B. einfach D = R+ wählen (also alle positiven x-Werte, beispielsweise) smile

28.11.2017, 07:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Thomas7
Ah, na dann kann man ja z.B. einfach D = R+ wählen

Es ist $\begin{align*} f(1)=-1 \end{align*}$ aber auch $\begin{align*} f(3)=-1 \end{align*}$ , wie willst du da Bijektivität erreichen? unglücklich

Wir reden hier nicht von der Normalparabel $\begin{align*} f(x)=x^2 \end{align*}$ mit Scheitel an der Stelle $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ . unglücklich

Sondern von einer Parabel $\begin{align*} f(x)=-(x-2)^2 \end{align*}$ mit Scheitel an der Stelle x=2:

Entsprechend sollte man dort ansetzen mit der Auftrennung des Definitionsbereichs.

30.11.2017, 22:12

Thomas7

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Ah klar

So kann man D einschränken auf alles, was kleiner bzw. grösser als 2 ist.

Wenn man noch die Umkehrfunktion angeben möchte, so wäre diese ja:
$\begin{eqnarray*} y=2- \sqrt{-x} \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{-x} +2 \end{eqnarray*}$

Wie aber kommt man darauf? Man stellt f(x) ja nach x um und erhält:
y+4 = -x^2 + 4x

Nun könnte man x ausklammern, jedoch bringt dies nicht viel, oder?

01.12.2017, 08:40

klarsoweit

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Wenn ich das richtig sehe, willst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} y =-(x-2)^2 \end{eqnarray*}$ nach x umstellen. Da wäre es doch das einfachste, die Gleichung mit -1 zu multiplizieren. Die dann entstehende quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Augenzwinkern

01.12.2017, 10:06

Thomas7

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Ah klar - dann zieht man auf beiden Seiten die Wurzel et voilà.
Top, besten Dank!

01.12.2017, 10:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas7
dann zieht man auf beiden Seiten die Wurzel et voilà.

Jein. Wie gesagt hast du da eine quadratische Gleichung, die nicht selten (und eben auch hier) 2 Lösungen hat. Da ist es mit einfachem Wurzelziehen nicht getan. smile

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