Beweis der Kongruenz von zwei Dreiecken, die sich aus 3 Kreisen ergeben

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MFWG97 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Kongruenz von zwei Dreiecken, die sich aus 3 Kreisen ergeben
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich wende mich heute mit einem Problem an euch, bei dem ich dummerweise seit Stunden schon hänge und euch extrem dankbar wäre, wenn ihr mir helfen könntet ..

Hier die Aufgabenstellung:
Drei Kreise mit gleichem Radius und den Mittelpunkten M1, M2 und M3 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P. Außerdem schneiden sich je zwei Kreise in A, B und C (siehe Skizze).
Man beweise, dass die beiden Dreiecke ABC und M1M2M3 kongruent sind.

Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man das beweisen könnte? Ich bin echt am verzweifeln, was höchstwahrscheinlich an meiner eigenen Dummheit liegt. Seit gestern schon am rumprobieren, aber ich komme einfach zu nichts anderem außer dem Ansatz, den ich angegeben habe.

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Da P Element aller Kreise ist, gilt: M1P = r; M2P = r; M3P = r;
Da also M1, M2 und M3 gleich weit von P entfernt sind, sind M1, M2 und M3 jeweils ein Element des Umkreises um P mit dem Radius r.
Dementsprechend ist das Dreieck M1M2M3 gleichseitig.

Aber wie könnte man nun die "Gleichseitigkeit" von ABC und die Kongruenz von M1M2M3 zu ABC beweisen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MFWG97
Dementsprechend ist das Dreieck M1M2M3 gleichseitig.

Dieser Schluss ist falsch: sowie dann auch sind i.a. mitnichten gleichseitig. unglücklich

[attach]45830[/attach]

Zum Nachweis:

bzw. gehen aus hervor durch Punktspiegelung an den Mittelpunkten der Strecken , bzw. .

Damit gilt (mit Symbolik Punkte = zugehörige Ortsvektoren)



und weiter dann durch Differenzbildung

.

Das bedeutet u.a. , und , und damit die nachzuweisende Kongruenz. Man kann sogar noch mehr daraus ablesen, nämlich die Parallelitäten , und . Augenzwinkern
 
 
MFWG97 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!
Und was genau liefert den Beweis dafür dass A, B und C aus den Punktspiegelungen hervorgehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte den Schnitt zweier Kreise gleicher Radien:

Dann bilden die zwei Kreismittelpunkte sowie die beiden Schnittpunkte einen Rhombus (auch "Raute" genannt), denn alle vier Seitenlängen entsprechen dem Kreisradius. Ein Rhombus hat die Eigenschaft, dass dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und ihr Schnittpunkt beide Diagonalen jeweils halbiert.

Dieser Diagonalenschnittpunkt ist in unserem Fall der Mittelpunkt , und die Kreisschnittpunkte sind jeweils sowie einer der drei Dreieckspunkte - ist das Erklärung genug?
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