Integral

27.11.2017, 22:28	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Guten Abend, ist es rein partiell möglich das folgende Integral zu integrieren? Wie es per Substitution funktioniert ist mir geläufig. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi} \! sin^3(\theta) \, d\theta \end{eqnarray}$ Da kommt dann als Ergebnis 4/3 heraus. Aber wie macht man das partiell?
27.11.2017, 23:14	trara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral sin^3=(1-cos^2)*sin, dann ist es ganz leicht, wenn du noch die Ableitung von cos^3(x) ansiehst Gruß trara
27.11.2017, 23:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am einfachsten erscheint es mir tatsächlich mit einer Substitution, etwa $\begin{align} u = - \cos \vartheta \end{align}$ , nämlich $\begin{align} \int_0^{\pi} \sin^3 \vartheta ~ \dd \vartheta = \int_0^{\pi} \sin \vartheta \cdot \left( 1 - \cos^2 \vartheta \right) ~ \dd \vartheta = \int_{-1}^1 \left( 1 - u^2 \right) ~ \dd u = \frac{4}{3} \end{align}$ Aber auch partielle Integration ist möglich: $\begin{align} \int_0^{\pi} \sin^3 \vartheta ~ \dd \vartheta = \left. - \cos \vartheta \cdot \sin^2 \vartheta \, \right\|_{\, 0}^{\, \pi} + 2 \int_0^{\pi} \cos^2 \vartheta \cdot \sin \vartheta ~ \dd \vartheta \end{align}$ $\begin{align} = 2 \int_0^{\pi} \left( 1 - \sin^2 \vartheta \right) \cdot \sin \vartheta ~ \dd \vartheta = 2 \int_0^{\pi} \sin \vartheta ~ \dd \vartheta - 2 \int_0^{\pi} \sin^3 \vartheta ~ \dd \vartheta \end{align}$ Aus dem Anfang und dem Ende der Rechnung folgert man: $\begin{align} 3 \int_0^{\pi} \sin^3 \vartheta ~ \dd \vartheta = 2 \int_0^{\pi} \sin \vartheta ~ \dd \vartheta \end{align}$ $\begin{align} \int_0^{\pi} \sin^3 \vartheta ~ \dd \vartheta = \frac{2}{3} \int_0^{\pi} \sin \vartheta ~ \dd \vartheta = \frac{4}{3} \end{align}$ In beiden Varianten ist der trigonometrische Pythagoras entscheidend: $\begin{align} \sin^2 \vartheta + \cos^2 \vartheta = 1 \end{align}$

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