Lineares Gleichungssystem

28.11.2017, 13:18	KennyundCartman	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Meine Frage: Hallo erstmal, ich weiß nicht recht ob die Frage nicht vielleicht sogar in den Schulbereich gehört. Auf jeden Fall: Ich hab folgendes System $\begin{eqnarray} p_{0}= 0, p_{n}= 1 \end{eqnarray}$ und für 0< k <n gilt $\begin{eqnarray} p_{k}= \frac{1}{2} p_{k-1} + \frac{1}{2} p_{k+1} \end{eqnarray}$ als Lösung wird nun angegeben: $\begin{eqnarray} p_{k}= \frac{k}{n} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist jetzt wie komme ich zu dem Ergebnis? Meine Ideen: ich hab mal folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} p_{1}=\frac{1}{2}p_{0} + \frac{1}{2} p_{2}=\frac{1}{2} p_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{2}=\frac{1}{2}p_{1} + \frac{1}{2} p_{3}=\frac{1}{4} p_{2}+ \frac{1}{2} p_{3} = \frac{4}{6} p_{3} \Rightarrow p_{1}=\frac{1}{3}p_{3} \end{eqnarray}$ analog folgt: $\begin{eqnarray} p_{1}=\frac{1}{k}p_{k} \end{eqnarray}$ auserdem weiß ich: $\begin{eqnarray} p_{k}= \frac{1}{2} p_{k-1} + \frac{1}{2} p_{k+1} =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}p_{k-2}+\frac{1}{2}p_{k})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}p_{k}+\frac{1}{2}p_{k+2})=\frac{1}{4}p_{k-2}+\frac{1}{2}p_{k}+\frac{1}{4}p_{k+2} \Rightarrow p_{k}=\frac{1}{2}p_{k-2}+\frac{1}{2}p_{k+2} \end{eqnarray}$ für entsprechendes k jetzt weiß ich aber immer noch nicht wie ich zur Lösung komme?
28.11.2017, 14:03	KennyundCartman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich bin doch selbst drauf gekommen: Man zeigt einfach das: $\begin{eqnarray} p_{k}= \frac{k}{k+1} p_{k+1} \end{eqnarray}$ und wenn man das gezeigt hat folgt $\begin{eqnarray} p_{k}= \frac{k}{k+1} p_{k+1} =\frac{k}{k+1}\frac{k+1}{k+2} p_{k+2}=...=\frac{k}{n} p_{n}=\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

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